Lineare Trennebene (3D)
Über diese App
Linearer Klassifikator im Raum: zwei Punktklassen, eine Trennebene mit Normalenvektor w. Ebene per Slider drehen/verschieben oder per Perzeptron auto-trennen — trennbare, überlappende und XOR-Daten zeigen Stärke und Grenze des linearen Modells.
Was ein linearer Klassifikator tut
Ein linearer Klassifikator trennt zwei Klassen mit einer Hyperebene, im dreidimensionalen Raum also mit einer Ebene. Ein Punkt x wird Klasse A zugeordnet, wenn n·x > b gilt, sonst Klasse B. Der Normalenvektor n (das Gewicht w) steht senkrecht auf der Ebene und zeigt zur A-Seite, b verschiebt die Ebene. Sind die Klassen linear trennbar, findet die Perzeptron-Lernregel nach endlich vielen Korrekturen eine trennende Ebene. Bei überlappenden Klassen oder bei XOR-Mustern gibt es dagegen keine einzelne Ebene ohne Fehler.
Was die App zeigt
Zwei Punktwolken schweben in einer drehbaren 3D-Szene, dazwischen die Trennebene mit dem Normalenvektor als Pfeil. Falsch klassifizierte Punkte bekommen einen Ring. Ein Auswertungs-Panel zeigt den Anteil korrekt und falsch klassifizierter Punkte sowie die aktuelle Ebenengleichung n·x = b. Drei Datensätze stehen bereit: „Trennbar“, „Überlappend“ und „XOR“. Die Ansicht lässt sich mit der Maus frei drehen, um die Lage der Ebene von allen Seiten zu prüfen.
Selbst ausprobieren
Drehe die Ebene mit Azimut und Neigung und verschiebe sie mit b, bis möglichst wenige Ringe übrig sind. Drücke dann „Auto-Trennen (Perzeptron)“: Bei „Trennbar“ gelingt die Trennung fehlerfrei, bei „Überlappend“ bleiben Fehler. Bei „XOR“ siehst du die Grenze des linearen Modells. Ein Klick auf einen Punkt wechselt seine Klasse, so kannst du trennbare Daten gezielt untrennbar machen.
Häufige Fragen
- Was ist eine Trennebene beim maschinellen Lernen?
- Eine Trennebene teilt den Merkmalsraum in zwei Hälften, eine für jede Klasse. Sie wird durch einen Normalenvektor w und einen Abstand b beschrieben: Punkte mit w·x > b liegen auf der einen Seite, die übrigen auf der anderen. In mehr als drei Dimensionen spricht man von einer Hyperebene.
- Warum kann ein linearer Klassifikator XOR nicht lösen?
- Beim XOR-Muster liegen die Punkte einer Klasse in diagonal gegenüberliegenden Ecken. Jede Ebene, die eine Ecke von der benachbarten trennt, trennt zwangsläufig auch eine gleichfarbige Ecke ab. Erst nichtlineare Modelle, etwa mit einer versteckten Schicht oder einer Merkmalstransformation, können XOR trennen.
- Wie funktioniert die Perzeptron-Lernregel?
- Das Perzeptron geht die Punkte durch und korrigiert die Ebene nur bei Fehlern: Bei einem falsch klassifizierten Punkt x mit Label y = ±1 wird w um y·x verschoben und b entsprechend angepasst. Sind die Daten linear trennbar, endet das Verfahren nach endlich vielen Korrekturen mit einer trennenden Ebene.
- Was kann ich in der App ausprobieren?
- Du drehst und verschiebst die Ebene von Hand oder lässt das Perzeptron trennen, wechselst die Klasse einzelner Punkte per Klick und vergleichst die Datensätze „Trennbar“, „Überlappend“ und „XOR“. Ringe markieren Fehler, das Auswertungs-Panel zeigt die Trefferquote.
Fach: Machine Learning
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