Asiatische Option — Details
Über diese App
Monte-Carlo-Bewertung mit quantifizierbarem Fehler: Der laufende Preis-Schätzer mit ±1,96·SE-Band schnürt sich mit 1/√M ein; der Euro-Schätzer aus denselben Pfaden validiert sich an der analytischen Black-Scholes-Referenz. „+1000 Pfade" animiert, „+10000" schnell. Widerlegt „Simulation ist Raten".
Worum es geht
Für arithmetisch gemittelte asiatische Optionen gibt es keine geschlossene Preisformel. Man bewertet sie per Monte-Carlo: Viele Kurspfade simulieren, je Pfad den Payoff berechnen und den Mittelwert mit e^(−rT) abzinsen. Der Fehler ist messbar: Der Standardfehler ist SE = s/√M bei M Pfaden und Stichproben-Standardabweichung s, ein 95-%-Konfidenzband reicht ±1,96·SE. Viermal so viele Pfade halbieren das Band.
Was die App zeigt
Die App zeigt den laufenden Preisschätzer der asiatischen Option über der Zahl der Pfade, umgeben vom ±1,96·SE-Band. Aus denselben Pfaden entsteht ein Schätzer für die europäische Option, der sich auf die gestrichelte analytische Black-Scholes-Linie legt. Stimmt das Verfahren dort, ist auch der asiatische Schätzer glaubwürdig. Das Wertepanel nennt M, beide MC-Preise, den Black-Scholes-Preis, das Verhältnis asiatisch zu europäisch und den Standardfehler.
Selbst ausprobieren
Drücke mehrmals „+1000 Pfade“ und sieh zu, wie das Band sich auf den Preis zuschnürt; „+10000“ rechnet schnell weiter. Achte darauf, dass das Band nach viermal so vielen Pfaden etwa halb so breit ist. Ändere Optionstyp, Strike K oder Volatilität σ: Der Schätzer setzt sich zurück und baut sich neu auf. Vergleiche das Verhältnis asiatisch zu europäisch bei hoher und niedriger Volatilität.
Häufige Fragen
- Wie bewertet man eine asiatische Option?
- Für das arithmetische Mittel gibt es keine geschlossene Formel, daher nutzt man meist Monte-Carlo-Simulation. Man simuliert risikoneutrale Kurspfade, berechnet je Pfad den Payoff auf den Durchschnitt und zinst den Mittelwert ab. Für das geometrische Mittel existiert dagegen eine geschlossene Lösung.
- Wie genau ist eine Monte-Carlo-Bewertung?
- Der Standardfehler des Schätzers beträgt s/√M, wobei s die Streuung der Payoffs und M die Zahl der Pfade ist. Ein 95-%-Konfidenzintervall reicht etwa ±1,96 Standardfehler um den Schätzer. Die Genauigkeit wächst mit der Wurzel der Pfadzahl.
- Warum halbiert sich der Fehler erst bei vierfacher Pfadzahl?
- Weil der Standardfehler proportional zu 1/√M ist. Vervierfacht man M, wird √M doppelt so groß und der Fehler halb so groß.
- Wozu dient der europäische Schätzer in der App?
- Er nutzt dieselben simulierten Pfade wie der asiatische Schätzer, lässt sich aber mit der Black-Scholes-Formel exakt nachrechnen. Liegt er auf der analytischen Linie, ist das ein Test für die Simulation.
Fach: Finanzderivate
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