Anfangswertproblem: Fallenlassen
Über diese App
h″ = −g am fallenden Ball: zweimal integriert bleibt eine Schar von Wurfparabeln mit C₁ und C₂. Ohne Bedingung fallen viele Kugeln, mit nur h(0) immer noch eine Schar, erst h(0) und h′(0) wählen genau eine Bahn. Ziehbare Anfangshöhe und Startgeschwindigkeit (Starttangente), Randwertproblem mit Ziel nach t₁, Erde/Mars/Mond, Rechenweg mit Zahlen.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Warum eine DGL zweiter Ordnung zwei Anfangswerte braucht
Ohne Luftwiderstand gilt für die Höhe eines fallenden Körpers h″(t) = −g. Zweimal integrieren ergibt h(t) = −½gt² + C₁t + C₂: eine Schar von Wurfparabeln mit zwei freien Konstanten. Ein Anfangswertproblem gibt an einer Stelle so viele Bedingungen vor, wie die Ordnung angibt. Die Anfangshöhe h(0) = h₀ legt C₂ fest, die Anfangsgeschwindigkeit h′(0) = v₀ legt C₁ fest. Erst beide zusammen bestimmen genau eine Lösung.
Was die App zeigt
Links steht ein Fallturm mit Höhenskala, rechts der Verlauf h(t). Du wählst, was vorgegeben ist: nichts, nur die Höhe, nur die Geschwindigkeit, beides oder ein Ziel zu einem späteren Zeitpunkt. Für jede offene Freiheit fallen Geisterkugeln mit, ihre Parabeln erscheinen im Verlauf. Die Starttangente zeigt h′(0) als Steigung. Das Panel Rechnung führt durch Integrieren und Einsetzen und nennt Aufprallzeit, Aufprallgeschwindigkeit und den höchsten Punkt.
Was man ausprobieren kann
Ziehe die Kugel auf eine neue Höhe und die Pfeilspitze für die Startgeschwindigkeit. Schalte von „h(0) und h′(0)“ auf „nur h(0)“ und sieh, wie wieder viele Kugeln fallen. Im Randwertproblem gibst du vor, dass die Kugel nach t₁ Sekunden auf Höhe h₁ sein soll; die App berechnet die passende Startgeschwindigkeit. Auf Mars und Mond läuft dieselbe Gleichung mit kleinerem g, die Leuchtspur zeigt die gleichmäßig wachsende Geschwindigkeit.
Häufige Fragen
- Was ist ein Anfangswertproblem?
- Ein Anfangswertproblem besteht aus einer Differentialgleichung n-ter Ordnung und n Bedingungen an derselben Stelle, etwa Funktionswert und Ableitungen bei t = 0. Diese Bedingungen legen die freien Konstanten der allgemeinen Lösung fest und wählen eine Lösung aus.
- Wie löst man h″ = −g für den freien Fall?
- Einmal integrieren ergibt h′(t) = −gt + C₁, ein zweites Mal h(t) = −½gt² + C₁t + C₂. Mit h(0) = h₀ folgt C₂ = h₀, mit h′(0) = v₀ folgt C₁ = v₀. Also h(t) = h₀ + v₀t − ½gt².
- Was ist der Unterschied zwischen Anfangswert- und Randwertproblem?
- Beim Anfangswertproblem stehen alle Bedingungen an einer Stelle, zum Beispiel Höhe und Geschwindigkeit beim Loslassen. Beim Randwertproblem stehen sie an mindestens zwei Stellen, zum Beispiel Start in 30 m und nach 3 s am Boden. Randwertprobleme können eindeutig, unlösbar oder mehrdeutig sein.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst die vorgegebenen Bedingungen, ziehst Anfangshöhe und Anfangsgeschwindigkeit, setzt beim Randwertproblem Zielzeit und Zielhöhe und wechselst zwischen Erde, Mars und Mond. Ein Erklärmodus führt die wichtigsten Schritte vor.
Fach: Differentialgleichungen
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