Welten der Differentialgleichungen
Über diese App
Einstieg in Differentialgleichungen: neun laufende Welten aus Alltag, Physik, Biologie, Medizin, Epidemiologie, Ökonomie und Psychologie (Kaffee, Fallschirm, Bakterien, Federpendel, Hasen und Füchse, Epidemie, Tabletten, Solow-Wachstum, Romeo und Julia). Nach Kurvenform geordnet bleiben drei Formen. Im Detail: Steigungspfeil = rechte Seite der DGL, ziehbarer Startwert, Lösungsschar, Gleichgewicht.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Was eine Differentialgleichung ist
Eine Differentialgleichung (DGL) beschreibt nicht, wo etwas ist, sondern wie schnell es sich gerade ändert, und zwar abhängig vom momentanen Zustand. Beim Kaffee lautet die Regel T′ = −k(T − T_U): Je größer der Abstand zur Raumtemperatur, desto schneller kühlt er ab. Zusammen mit einem Startwert legt die Gleichung den ganzen Verlauf fest. Ihre Lösung ist deshalb keine Zahl, sondern eine Funktion. Andere Startwerte liefern andere Kurven derselben Lösungsschar.
Neun Welten, drei Kurvenformen
Die App zeigt neun berühmte Modelle als laufende Szenen: Newtons Abkühlungsgesetz, den Fallschirmsprung mit Luftwiderstand, logistisches Wachstum von Bakterien, das gedämpfte Federpendel, das Räuber-Beute-Modell von Lotka und Volterra, das SIR-Modell einer Epidemie, den Medikamentenspiegel bei regelmäßiger Einnahme, das Solow-Wachstumsmodell der Ökonomie und Strogatz’ Romeo und Julia. Nach Kurvenform geordnet bleiben drei Formen: Gleichgewicht, Wachstum mit Grenze und Schwingung.
Was man ausprobieren kann
Tippe auf eine Kachel, um eine Welt groß zu öffnen. Links läuft die Szene, rechts wächst die Lösungskurve. Der Steigungspfeil am aktuellen Punkt ist genau die rechte Seite der DGL. Ziehe den Startpunkt bei t = 0 und sieh, wie dieselbe Regel eine andere Kurve liefert. Mit den Reglern änderst du Abkühlkonstante, Basisreproduktionszahl R₀, Einnahmeabstand oder Sparquote. Das Panel Gleichung zeigt die DGL in den Farben der Szene, in Worten, mit Live-Werten und, wo es eine gibt, der Lösungsformel.
Häufige Fragen
- Was ist eine Differentialgleichung einfach erklärt?
- Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt eine Regel für die Änderung: Wie schnell sich eine Größe ändert, hängt von ihrem momentanen Wert ab. Zusammen mit einem Startwert bestimmt sie den ganzen zeitlichen Verlauf.
- Wo kommen Differentialgleichungen im Alltag vor?
- Überall, wo sich etwas mit der Zeit ändert: beim Abkühlen von Kaffee, beim Fall mit Luftwiderstand, beim Medikamentenspiegel im Blut, beim Wachstum von Bakterien, bei Epidemien, in Schwingungen von Federn und Brücken, in Räuber-Beute-Zyklen und in Wachstumsmodellen der Volkswirtschaft.
- Warum hat eine Differentialgleichung viele Lösungen?
- Die Gleichung legt nur die Änderungsrate fest, nicht den Startpunkt. Jeder Anfangswert ergibt eine eigene Lösungskurve; zusammen bilden sie die Lösungsschar. Erst ein Anfangswert wie T(0) = 90 °C wählt genau eine Kurve aus. Das nennt man Anfangswertproblem.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst eine von neun Welten, ordnest die Galerie nach Fachgebiet oder Kurvenform, ziehst den Startwert, änderst zwei Parameter je Welt, blendest die Lösungsschar ein und spulst die Zeit. Ein Erklärmodus führt die wichtigsten Effekte vor.
Fach: Differentialgleichungen
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