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Geometrische Visualisierungen zu komplexen Zahlen
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Beweis der Euler-Moivreschen Formel in acht Schritten: Die Taylorreihe von eˣ braucht nur Plus und Mal und gilt deshalb auch für komplexe Zahlen. Mit z = iφ dreht sich jeder Term um 90°, die Pfeile bilden eine Spirale zum Einheitskreis. Nach Termen ohne und mit i sortiert, stehen dort die Reihen von Kosinus und Sinus, gezeigt an einer Schraubenlinie mit cos- und sin-Schatten. Zum Schluss folgt der Satz von Moivre.
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Zwei komplexe Zahlen addieren und die Summe als Parallelogramm-Regel verstehen.
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Zwei komplexe Zahlen dividieren — Beträge dividieren, Winkel subtrahieren.
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Zwei komplexe Zahlen multiplizieren — Beträge multiplizieren, Winkel addieren.
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Alle Darstellungen und Rechenarten komplexer Zahlen an einem Ort: z und w in der Gaußschen Ebene ziehen, kartesische Form, Polar- und Euler-Darstellung live ablesen oder eintippen. Die Winkelfalle zeigt, wo arctan(b/a) den falschen Quadranten liefert. Addition verschiebt, Multiplikation dreht und streckt die ganze Ebene, Division dreht zurück, Konjugation spiegelt, Potenzen bilden eine Spirale, Wurzeln ein regelmäßiges n-Eck. Der Rechenweg steht jeweils kartesisch und polar daneben, mit Hinweis, welcher Weg der leichte ist. Der Modus „Eine Zahl“ zeigt für ein einzelnes z die Bausteine der Umrechnung (Katheten a und b, Zeiger r, Winkel φ, Einheitskreis) und rechnet Schritt für Schritt zwischen kartesischer, Polar- und Euler-Darstellung um.
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Alle n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl als regelmäßiges Polygon visualisieren.
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Eine komplexe Zahl potenzieren und die Spirale der Zwischenwerte erkunden.
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Die Zahlbereiche ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ als Leiter: Über der 3D-Zahlengeraden steht der Betrag der Gleichung, und eine fehlende Lösung bleibt ein hohler Ring, bis der nächste Bereich sie liefert (5 + x = 2, 3·x = 5, x² = 2, x² = −2). Die Lupe zoomt auf √2, in ℂ klappt die Gerade zur Ebene auf, und die Fläche |z² + 2| berührt den Boden bei ±i√2. In der Stufe Ende zeigen gewürfelte Polynome den Fundamentalsatz der Algebra: so viele Nullstellen wie der Grad.
Komplexe ZahlenAusprobierenDu möchtest diese Apps in deinen Kursen nutzen? Lass uns gemeinsam schauen, was zu dir passt.
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