Potenz komplexer Zahlen
Über diese App
Eine komplexe Zahl potenzieren und die Spirale der Zwischenwerte erkunden.
Worum es geht
Schreibt man z in Polarform als z = r·e^{iφ}, so gilt zⁿ = rⁿ·e^{inφ}. Der Betrag wird also mit n potenziert, der Winkel mit n multipliziert. Das ist der Satz von de Moivre, in trigonometrischer Form (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ. Kartesisch müsste man (a + bi)ⁿ mit dem binomischen Lehrsatz ausmultiplizieren, was schnell aufwendig wird.
Was die App zeigt
Ein Punkt z liegt in der Gaußschen Ebene, das Ergebnis zⁿ als Pfeil daneben. Die Zwischenpotenzen z², z³, … bis zⁿ erscheinen als hellere Punkte und bilden eine Spirale. Eine Formel rechnet live vor: |z|ⁿ ergibt den Betrag, n·∠z den Winkel in Grad. Der Einheitskreis trennt wachsende von schrumpfenden Spiralen.
Selbst ausprobieren
Zieh z knapp außerhalb des Einheitskreises und erhöhe n mit dem Regler bis 30: Die Spirale läuft nach außen. Knapp innerhalb windet sie sich zum Nullpunkt. Liegt z genau auf dem Kreis, bleiben alle Potenzen darauf und drehen sich nur. Für z mit Winkel 360°/k kehrt die k-te Potenz auf die positive reelle Achse zurück.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man die n-te Potenz einer komplexen Zahl?
- Am einfachsten in Polarform: Für z = r·e^{iφ} ist zⁿ = rⁿ·e^{inφ}. Man potenziert den Betrag und multipliziert den Winkel mit n. Beispiel: 1 + i hat Betrag √2 und Winkel 45°, also ist (1 + i)⁵ = (√2)⁵·e^{i·225°} = −4 − 4i.
- Was sagt der Satz von de Moivre?
- Für jede ganze Zahl n gilt (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ. Er folgt aus der Euler-Formel e^{iφ} = cos φ + i sin φ, weil (e^{iφ})ⁿ = e^{inφ} ist. Mit ihm lassen sich zum Beispiel Mehrfachwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.
- Warum bilden die Potenzen einer komplexen Zahl eine Spirale?
- Jede weitere Multiplikation mit z dreht um denselben Winkel φ und streckt um denselben Faktor r. Für r > 1 wachsen die Abstände zum Ursprung, für r < 1 schrumpfen sie, für r = 1 bleiben die Punkte auf dem Einheitskreis. So entsteht eine logarithmische Spirale bzw. ein Kreis.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du ziehst den Punkt z in der Ebene und stellst den Exponenten n von 1 bis 30 ein. Die App zeigt alle Zwischenpotenzen als Spirale und rechnet Betrag und Winkel von zⁿ mit.
Fach: Komplexe Zahlen
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