Die Kreiszahl π
Über diese App
π annähern: ein-/umbeschriebene Vielecke klemmen π zwischen zwei Schranken ein, oder Monte-Carlo mit Zufallspunkten (Anteil ×4 ≈ π). Schätzwert vs. echtes π live.
Was π ist
Die Kreiszahl π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises, π = 3,14159… Sie ist irrational, ihre Dezimaldarstellung bricht nicht ab und wird nicht periodisch. Für Umfang und Fläche gilt U = 2πr und A = πr². Weil π nicht als Bruch darstellbar ist, wird es seit der Antike durch Näherungsverfahren immer enger eingegrenzt.
Zwei Verfahren in der App
Bei den Vielecken liegen ein einbeschriebenes und ein umbeschriebenes regelmäßiges n-Eck am Kreis. Ihre halben Umfänge liefern eine untere und eine obere Schranke für π; mehr Ecken bedeuten eine engere Klammer. Beim Monte-Carlo-Verfahren fallen zufällige Punkte in ein Quadrat, und der Anteil im Viertelkreis mal 4 nähert sich π, je mehr Punkte, desto genauer.
Selbst ausprobieren
Schiebe im Vieleck-Modus n hoch und verfolge, wie die Spannweite zwischen den Schranken schrumpft. Starte im Monte-Carlo-Modus die Simulation und stelle ein, wie viele Punkte pro Schritt fallen. Das Wertepanel zeigt Schätzwert, echtes π, Abweichung und die Zahl der Treffer. Achte darauf, wie langsam die Zufallsmethode im Vergleich genauer wird.
Häufige Fragen
- Wie hat Archimedes π berechnet?
- Archimedes legte regelmäßige Vielecke in den Kreis und um den Kreis herum und berechnete ihre Umfänge. Der Kreisumfang liegt zwischen beiden. Mit 96-Ecken grenzte er π auf einen Wert zwischen 3 10/71 und 3 1/7 ein.
- Wie funktioniert die Monte-Carlo-Methode für π?
- Man verteilt zufällige Punkte gleichmäßig im Einheitsquadrat. Der Viertelkreis mit Radius 1 bedeckt den Flächenanteil π/4, also landet im Mittel dieser Anteil der Punkte darin. Damit gilt π ≈ 4 · Treffer / Gesamtzahl; die Genauigkeit wächst nur langsam mit der Punktzahl.
- Warum ist π irrational?
- Irrational bedeutet, dass sich π nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Das wurde im 18. Jahrhundert bewiesen. Deshalb bricht die Dezimaldarstellung nie ab und wiederholt sich nicht periodisch.
- Was zeigt die App?
- Sie nähert π auf zwei Wegen an: mit ein- und umbeschriebenen n-Ecken, die π einklammern, und mit zufälligen Punkten im Viertelkreis. Schätzwert, Abweichung, Schranken und Trefferzahlen werden live angezeigt.
Fach: Schulmathematik (Gymnasium)
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