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Ziegenproblem (Monty Hall)

Über diese App

Drei, zehn oder hundert Türen: Die Wahrscheinlichkeit fließt sichtbar auf die Tür, die der Moderator stehen lässt — dazu Bayes-Tabelle, Baum, unwissender Moderator und die Strategien immer wechseln, nie wechseln, 50/50 tausendfach simuliert.

Das Problem

Hinter einer von drei Türen steht ein Auto, hinter den anderen je eine Ziege. Du wählst eine Tür. Der Moderator weiß, wo das Auto steht, und öffnet eine der anderen Türen mit einer Ziege. Soll man wechseln? Ja: Die erste Wahl trifft nur mit 1/3. Mit 2/3 steht das Auto hinter einer der beiden anderen Türen, und dann muss der Moderator genau die Auto-Tür stehen lassen. Wechseln gewinnt also mit 2/3. Allgemein bei n Türen, von denen der Moderator alle bis auf eine öffnet: P(Gewinn | Wechseln) = (n − 1)/n.

Was die App zeigt

Über jeder Tür zeigt eine Säule, wie wahrscheinlich das Auto dort steht; nach dem Öffnen fließt die Masse sichtbar auf die verbleibende Tür. Neben dem Spiel gibt es eine Bayes-Tabelle mit Vorher-Wahrscheinlichkeit, Likelihood und Nachher-Wahrscheinlichkeit, einen Baum mit allen Fällen und eine Simulation über 100, 1000 oder 10 000 Runden. Dort treten die Strategien „immer wechseln“, „nie wechseln“ und „50/50 zufällig“ auf denselben Runden gegeneinander an. Eine Bilanz zählt deine eigenen Spiele.

Worauf es ankommt

Probiere 100 Türen: Der Moderator öffnet 98 Ziegentüren, deine Tür behält 1 %, die andere hat 99 %. Schalte dann auf den unwissenden Moderator um, der aufs Geratewohl öffnet. Er deckt manchmal das Auto auf, und diese Runden zählen nicht. Zeigt er nur Ziegen, sind beide geschlossenen Türen gleich gut, 1/2 zu 1/2. Die Wahrscheinlichkeit verschiebt sich also durch das Wissen des Moderators, das bloße Öffnen allein reicht dafür nicht.

Häufige Fragen

Warum sollte man beim Ziegenproblem wechseln?
Die erste Wahl trifft das Auto nur mit Wahrscheinlichkeit 1/3. In den übrigen 2/3 der Fälle steht das Auto hinter einer der anderen Türen, und der Moderator muss genau diese Tür geschlossen lassen. Wer wechselt, gewinnt deshalb mit Wahrscheinlichkeit 2/3.
Warum ist es beim Ziegenproblem nicht 50 zu 50?
Die beiden verbliebenen Türen sind nicht gleichwertig: Deine Tür hast du zufällig gewählt, die andere hat der Moderator mit Wissen über das Auto stehen lassen. Mit dem Satz von Bayes ergibt sich P(Auto hinter der anderen Tür | Moderator öffnet Ziegentür) = 2/3. Nur wenn der Moderator zufällig öffnet und dabei eine Ziege zeigt, wäre es 1/2 zu 1/2.
Wie rechnet man das Ziegenproblem mit dem Satz von Bayes?
Vorher hat jede Tür die Wahrscheinlichkeit 1/3. Steht das Auto hinter deiner Tür 1, öffnet der Moderator Tür 3 mit Wahrscheinlichkeit 1/2; steht es hinter Tür 2, muss er Tür 3 öffnen. Damit gilt P(Auto hinter 2 | er öffnet 3) = (1 · 1/3) / (1/2) = 2/3.
Was kann ich in dieser App ausprobieren?
Du spielst mit 3, 10 oder 100 Türen und wählst, ob der Moderator Bescheid weiß oder zufällig öffnet. Bayes-Tabelle und Baum rechnen die jeweilige Runde nach. Die Simulation vergleicht immer wechseln, nie wechseln und 50/50 über bis zu 10 000 Runden.

Fach: Wahrscheinlichkeit & Stochastik

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