Buffons Nadel: π aus dem Dielenboden
Über diese App
Nadeln fallen auf einen Dielenboden und verraten π. Der Beweis ohne Integral führt über Stücke und eine Nudel zum Kreis, der die Fugen immer genau zweimal schneidet.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Was ist Buffons Nadelproblem?
Georges-Louis Leclerc de Buffon fragte 1777: Eine Nadel der Länge ℓ fällt zufällig auf einen Boden aus Dielen, deren Fugen den Abstand d haben. Wie wahrscheinlich liegt sie über einer Fuge? Für ℓ ≤ d lautet die Antwort 2ℓ/(πd). Die Kreiszahl π taucht also in einem Zufallsexperiment mit geraden Nadeln auf. Wirft man N Nadeln und zählt T Treffer, ist 2ℓN/(dT) eine Schätzung für π. Sie nähert sich π allerdings nur langsam: Der Fehler sinkt etwa mit 1/√N.
Der Beweis ohne Integral
Joseph-Émile Barbier zählte 1860 Schnitte statt Treffer. Die mittlere Zahl der Schnitte ist additiv, auch wenn zwei Stücke starr verbunden sind, denn der Erwartungswert ist linear. Deshalb ist sie proportional zur Länge, für jede Form, auch für eine gebogene Nadel. Ein Kreis mit Durchmesser d schneidet die Fugen immer genau zweimal und hat den Umfang πd. Aus c·πd = 2 folgt c = 2/(πd). Eine kurze gerade Nadel schneidet höchstens einmal, ihr Mittelwert ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit 2ℓ/(πd).
Was du in der App ausprobierst
Die App führt in sieben Schritten durch den Beweis: eine Nadel fällt, dann ein Nadelregen mit leuchtenden Treffern und der laufenden π-Schätzung, eine Konvergenzkurve mit 1/√N-Trichter, eine geknickte Nadel, eine Nudel und ein Kreis, den du über den Boden ziehen kannst. Histogramme zeigen, dass gerade Nadel, Nudel und Kreis gleicher Länge im Mittel gleich oft schneiden. Im freien Modus wählst du Form, Länge, Fugenabstand und Wurfzahl; ein fester Zufall mit Nummer macht jedes Ergebnis wiederholbar.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man π mit Buffons Nadel?
- Man wirft N Nadeln der Länge ℓ auf Dielen mit Fugenabstand d (ℓ ≤ d) und zählt die T Nadeln, die eine Fuge treffen. Dann gilt π ≈ 2ℓN/(dT). Für ℓ = d vereinfacht sich das zu π ≈ 2N/T.
- Warum kommt bei geraden Nadeln π heraus?
- Die mittlere Zahl der Schnitte hängt nur von der Länge ab, nicht von der Form. Ein Kreis mit Durchmesser d hat den Umfang πd und schneidet immer genau zweimal. Daraus folgt für jede Länge ℓ im Mittel 2ℓ/(πd) Schnitte.
- Wie genau ist die Schätzung nach 1000 Würfen?
- Meist stimmen nur ein bis zwei Nachkommastellen. Der typische Fehler sinkt mit 1/√N: Für eine Stelle mehr braucht man etwa hundertmal so viele Würfe. Das Experiment ist ein schöner Beweis, aber ein langsames Rechenverfahren.
- Kann ich in der App auch lange oder gebogene Nadeln werfen?
- Ja. Im Panel Probieren wählst du gerade, Zickzack, Bogen oder Kreis und Längen bis 30 cm. Bei langen oder gebogenen Nadeln zeigt die App die mittlere Zahl der Schnitte, die weiter 2ℓ/(πd) beträgt.
Fach: Aus Erdős' BUCH
Mehr aus Aus Erdős' BUCH
Eine VisuApp von heyprof: interaktiv, kostenlos im Browser, ohne Anmeldung. Was ist eine VisuApp? · Alle Apps