Zagiers Windmühlen: Primzahlen als Summe zweier Quadrate
Über diese App
Warum ist jede Primzahl 4k + 1 eine Summe zweier Quadrate? Zagiers Ein-Satz-Beweis als Windmühlen: Umklappen paart sie, nur eine bleibt allein, also ist ihre Zahl ungerade – und die übrige Spiegel-Windmühle zerfällt in p = x² + (2y)². Mit Gegenbeispielen 7, 11, 21 und 45.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Fermats Zwei-Quadrate-Satz in einem Satz bewiesen
Jede Primzahl, die beim Teilen durch 4 den Rest 1 lässt, ist eine Summe zweier Quadrate: 13 = 3² + 2², 41 = 5² + 4², 97 = 9² + 4². Don Zagier hat dafür 1990 einen Beweis aus einem einzigen Satz veröffentlicht. Er betrachtet alle Lösungen von p = x² + 4yz in natürlichen Zahlen und zeigt mit zwei Paarungen, dass ihre Anzahl ungerade ist. Eine Lösung muss er dabei nie suchen.
Was die App zeigt
Jede Lösung wird zur Windmühle: ein Quadrat mit Seite x und vier Flügel der Größe y × z, zusammen genau p Kästchen. Rechts stehen alle Windmühlen zu p im Ring. Zagiers Umklapp-Regel liest denselben Umriss mit einem anderen inneren Quadrat und verbindet die Paare; nur (1, 1, k) klappt auf sich selbst. Beim Spiegeln tauschen y und z, die Flügel klappen um ihre Ecke. Die übrig gebliebene Windmühle hat quadratische Flügel, die sich zum Quadrat (2y)² zusammenschieben.
Selbst ausprobieren
Wähle eine Primzahl von 5 bis 97 und geh den Beweis in acht Schritten durch: Windmühle, alle Windmühlen, Umklappen, Fixpunkt, ungerade Anzahl, Spiegeln, zwei Quadrate. Tippe eine kleine Windmühle an, um sie groß zu sehen, und klappe sie um. Gegenbeispiele zeigen, wo der Beweis bricht: 7 und 11 haben keine Windmühle, 21 und 45 mehrere Fixpunkte. Ein Erklärmodus führt die Schritte vor.
Häufige Fragen
- Welche Primzahlen sind eine Summe zweier Quadrate?
- Die Primzahl 2 (1² + 1²) und genau die ungeraden Primzahlen, die beim Teilen durch 4 den Rest 1 lassen, zum Beispiel 5, 13, 17, 29, 37 und 41. Primzahlen mit Rest 3, etwa 7, 11 oder 19, sind nie eine Summe zweier Quadrate, weil eine Summe zweier Quadrate beim Teilen durch 4 nie den Rest 3 lässt.
- Wie funktioniert Zagiers Ein-Satz-Beweis?
- Zagier betrachtet die endliche Menge aller Lösungen von p = x² + 4yz. Eine Paarung, die zweimal angewendet zurückführt, hat bei einer Primzahl genau einen Fixpunkt, (1, 1, k). Also ist die Anzahl der Lösungen ungerade. Dann hat auch die zweite Paarung, das Vertauschen von y und z, einen Fixpunkt mit y = z, und es gilt p = x² + (2y)².
- Was ist eine Involution mit Fixpunkt?
- Eine Involution ist eine Abbildung, die zweimal hintereinander ausgeführt wieder beim Start landet. Sie teilt eine Menge in Paare und Einzelne, die auf sich selbst abgebildet werden, die Fixpunkte. Ist die Zahl der Fixpunkte ungerade, ist auch die Größe der Menge ungerade, und umgekehrt.
- Was kann ich in der App „Zagiers Windmühlen“ tun?
- Du wählst eine Zahl, siehst alle Windmühlen dazu im Ring und verwandelst die große Windmühle mit „Umklappen“ und „Spiegeln“. Der Beweis führt in acht Schritten zum Abschlussbild p = a² + b². Unter Gegenbeispiele prüfst du, warum der Beweis bei 7, 11, 21 oder 45 nicht greift.
Fach: Aus Erdős' BUCH
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