DGL: Die Gegenüberstellung
Über diese App
Einstieg in Differentialgleichungen als Krimi: Der Täter ist eine Funktion, bekannt ist nur etwas über ihre Ableitung. Raten und Probe sichtbar gemacht: echte Tangente gegen die Steigung, die die DGL verlangt. y′ = 5y mit eˣ, e⁵ˣ, e⁵ˣ + C und C·e⁵ˣ (Schar, Trajektorie) sowie y′·y = −x: Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius, deshalb lösen nur Kreise.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Was eine Lösung einer Differentialgleichung ist
Eine Differentialgleichung verrät nicht die gesuchte Funktion selbst, sondern etwas über ihre Ableitung, zum Beispiel y′ = 5y: Die Steigung ist überall das Fünffache des Funktionswerts. Eine Lösung ist deshalb keine Zahl, sondern eine Funktion. Ob ein Kandidat passt, zeigt die Probe: Man setzt ihn links und rechts ein. Stimmen beide Seiten für jedes x überein, ist er eine Lösung. Für y′ = 5y bestehen e⁵ˣ und allgemein C·e⁵ˣ für jedes reelle C, eˣ und e⁵ˣ + C dagegen nicht.
Was die App zeigt
Die App macht die Probe sichtbar. Am Punkt x₀ auf der Kurve des Verdächtigen steht die echte Tangente mit der Steigung y′(x₀) und gestrichelt die Steigung, die die Gleichung an dieser Stelle verlangt. Bei einer Lösung decken sich beide überall, sonst klafft eine Lücke. Das Panel Probe rechnet links und rechts mit Zahlen nach und zeigt das Urteil. Im zweiten Fall y′·y = −x zeigt der Ortsvektor zum Punkt, dass die Tangente einer Lösung senkrecht auf dem Radius steht.
Was man ausprobieren kann
Wechsle zwischen den Verdächtigen eˣ, e⁵ˣ, e⁵ˣ + C und C·e⁵ˣ und sieh, wie die Kurve weich umformt und die Tangente mitgleitet. Zieh den Punkt über die Kurve: Bei der echten Lösung bleibt die Lücke überall zu. Stell C ein, auch negativ oder null, und blende die ganze Lösungsschar ein. Im Kreisfall vergleichst du die Gerade y = x mit Halbkreisen √(r² − x²) und änderst den Radius.
Häufige Fragen
- Wie prüft man, ob eine Funktion eine Differentialgleichung löst?
- Man leitet den Kandidaten ab und setzt Funktion und Ableitung in beide Seiten der Gleichung ein. Stimmen linke und rechte Seite für jedes x im Definitionsbereich überein, ist er eine Lösung. Für y = e⁵ˣ und y′ = 5y gilt y′ = 5e⁵ˣ = 5y.
- Warum ist e⁵ˣ + C keine Lösung von y′ = 5y?
- Die Ableitung von e⁵ˣ + C ist 5e⁵ˣ, das C fällt weg. Die rechte Seite ist aber 5y = 5e⁵ˣ + 5C. Beide Seiten stimmen nur für C = 0 überein. Eine additive Konstante passt bei Stammfunktionen, bei dieser Differentialgleichung nicht; hier gehört die Konstante als Faktor davor: C·e⁵ˣ.
- Warum sind die Lösungen von y′·y = −x Kreise?
- y′·y = −x lässt sich als x + y·y′ = 0 schreiben, also als Skalarprodukt (1, y′)·(x, y) = 0. Die Tangentenrichtung steht damit überall senkrecht auf dem Ortsvektor zum Punkt. Das gilt genau für Kreise um den Ursprung: y = ±√(r² − x²) für jedes r > 0.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst einen der beiden Fälle und einen Verdächtigen, ziehst den Punkt x₀ über die Kurve, stellst die Konstante C oder den Radius r ein und blendest die verlangte Steigung und die ganze Lösungsschar ein. Ein Erklärmodus führt durch beide Fälle.
Fach: Differentialgleichungen
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