Digitaloption — Idee
Über diese App
Cash-or-Nothing: fester Betrag, wenn der Kurs über dem Strike landet — sonst null. Der Payoff ist eine Sprungfunktion, der faire Wert heute die glatte S-Kurve darüber; „Zeitverfall" lässt sie zur Stufe versteifen. Widerlegt „der Payoff wächst mit dem Abstand zum Strike" — es ist ein Cliff.
Worum es geht
Eine Cash-or-Nothing-Digitaloption zahlt bei Fälligkeit einen festen Betrag, wenn der Kurs über dem Strike K liegt (Call) bzw. darunter (Put), sonst nichts. Ihr Payoff ist eine Sprungfunktion: Knapp über dem Strike gibt es die volle Auszahlung, knapp darunter null. Der faire Wert vor Fälligkeit ist nach Black-Scholes Auszahlung · e^(−rT) · Φ(d₂) für den Call. Φ(d₂) ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit, im Geld zu enden, nicht die reale.
Was die App zeigt
Die App zeigt den Payoff bei Fälligkeit als Stufe am Strike und darüber den heutigen Wert als glatte S-Kurve über dem Kurs S. Die Auszahlungszone ist markiert, ein Kursmarker lässt sich verschieben. Das Panel nennt den Wert heute, die Auszahlungswahrscheinlichkeit Φ(d₂) mit dem Hinweis, dass sie risikoneutral ist, die feste Auszahlung, den maximalen Gewinn beim Kauf und die Moneyness.
Selbst ausprobieren
Spiele den Zeitverfall ab: Mit T gegen null versteift sich die S-Kurve zur Stufe. Verschiebe den Kurs S knapp über und unter den Strike und vergleiche den Wert. Erhöhe die Volatilität σ, dann wird die S-Kurve flacher. Wechsle zwischen Call und Put und verändere Auszahlung und Zins r. Achte darauf, wie stark sich der Wert nahe am Strike mit dem Kurs ändert, wenn die Restlaufzeit kurz ist.
Häufige Fragen
- Was ist eine Digitaloption?
- Eine Digitaloption, auch binäre Option, zahlt bei Fälligkeit entweder einen festen Betrag oder nichts, je nachdem, ob der Kurs über oder unter dem Strike liegt. Bei der Cash-or-Nothing-Variante ist die Auszahlung ein fester Geldbetrag. Ihr Payoff ist eine Stufe, kein Hockeystick.
- Wie berechnet man den Preis einer Digitaloption?
- Im Black-Scholes-Modell ist der Preis eines Cash-or-Nothing-Calls Auszahlung · e^(−rT) · Φ(d₂), der des Puts Auszahlung · e^(−rT) · Φ(−d₂). Φ ist die Standardnormalverteilung und d₂ = (ln(S/K) + (r − σ²/2)T)/(σ√T).
- Ist Φ(d₂) die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld endet?
- Nur unter dem risikoneutralen Maß. Die reale Wahrscheinlichkeit hängt von der tatsächlich erwarteten Rendite der Aktie ab und kann davon abweichen. Für die Bewertung zählt die risikoneutrale Größe.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst Call oder Put und stellst Strike, Auszahlung, Volatilität, Restlaufzeit, Zins und Kurs ein. „Zeitverfall abspielen“ lässt die Restlaufzeit gegen null laufen.
Fach: Finanzderivate
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