Geometrisches Mittel
Über diese App
Mittlere Wachstumsrate richtig bilden: Produktion 1000, 1200, 1500, 900. Erst schätzen, dann wachsen drei Pfade mit konstantem Faktor. Das Mittel der Raten (+1,67 %) landet bei 1050,8, die Produktion endet aber bei 900. Nur das geometrische Mittel (−3,45 % pro Jahr) trifft den Endwert. Faktoren, Produkt, n-te Wurzel, dazu Depot, Inflation, Bakterien und ±50 %.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Für eine Zeitreihe von Beständen B₀, B₁, …, Bₙ ist xᵢ = Bᵢ/Bᵢ₋₁ der Wachstumsfaktor und rᵢ = xᵢ − 1 die Wachstumsrate der Periode i. Die mittlere Wachstumsrate ist r̄ = x̄_geom − 1 mit dem geometrischen Mittel x̄_geom = ⁿ√(x₁ · x₂ ⋯ xₙ). Weil sich das Produkt der Faktoren zu Bₙ/B₀ kürzt, genügen Anfangs- und Endwert: x̄_geom = ⁿ√(Bₙ/B₀). Das arithmetische Mittel der Raten ist hier falsch, denn Wachstum wirkt multiplikativ. Es liegt immer mindestens so hoch wie das geometrische Mittel und täuscht damit ein zu großes Wachstum vor.
Was die App zeigt
Ausgangspunkt ist das Beispiel aus der Vorlesung: Ein Unternehmen produziert 1000, 1200, 1500 und 900 Stück. Die Raten sind +20 %, +25 % und −40 %, ihr arithmetisches Mittel 1,67 % pro Jahr. Nach dem Auflösen wachsen drei Pfade mit konstantem Faktor: Der Pfad mit 1,67 % endet bei 1050,8, der Pfad mit dem geometrischen Mittel trifft die 900. Die Lücke von 150,8 leuchtet als vermeintliches Wachstum auf. Darunter stehen die Raten jeder Periode mit beiden Mittelwerten, ein Panel rechnet Faktoren, Produkt, dritte Wurzel und Probe mit Zahlen vor: ∛0,9 = 0,9655, also −3,45 % pro Jahr.
Selbst ausprobieren
Schätze zuerst die mittlere Wachstumsrate am Regler oder an der gepunkteten Linie und löse dann auf: Dein Tipp wächst als eigener Pfad mit, die Rückmeldung sagt, wo er landet. Ziehe die Säulen in eine andere Höhe und beobachte, wie die Lücke wächst, wenn die Raten stärker schwanken. Weitere Beispiele: eine Aktie mit +50 % und −50 % (im Mittel 0 %, aus 100 € werden 75 €), ein Depot mit Ø +3,75 %, das trotzdem Geld verliert, die Inflation 2021 bis 2024, bei der beide Mittel fast gleich sind, und eine Bakterienkultur.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man die durchschnittliche Wachstumsrate?
- Man rechnet die Raten in Faktoren um (+20 % → 1,2), multipliziert sie, zieht die n-te Wurzel und zieht eins ab: r̄ = ⁿ√(x₁ ⋯ xₙ) − 1. Gleichwertig ist r̄ = ⁿ√(Bₙ/B₀) − 1 aus Anfangs- und Endwert. Bei 1000 → 900 in drei Jahren ergibt das ∛0,9 − 1 ≈ −3,45 % pro Jahr.
- Warum darf man Wachstumsraten nicht arithmetisch mitteln?
- Wachstumsraten wirken multiplikativ: Jede Rate bezieht sich auf den Bestand der Vorperiode. Ein Verlust trifft einen vorher gewachsenen Betrag und wiegt deshalb schwerer als ein gleich großer Gewinn. +50 % und −50 % ergeben im arithmetischen Mittel 0 %, aus 100 € werden aber 75 €. Das arithmetische Mittel überschätzt das Wachstum.
- Wann sind arithmetisches und geometrisches Mittel gleich?
- Für positive Werte gilt immer x̄_geom ≤ x̄, Gleichheit nur, wenn alle Werte gleich sind. Liegen die Raten nah beieinander, unterscheiden sich die Mittel kaum: Die Inflationsraten 2021 bis 2024 ergeben 4,53 % gegen 4,51 %. Je stärker die Raten schwanken, desto größer die Lücke.
- Was kann ich in der App Geometrisches Mittel einstellen?
- Du gibst einen Tipp für die mittlere Wachstumsrate ab, löst auf und siehst drei Pfade wachsen. Die Bestände lassen sich als Säulen in der Höhe ziehen, fünf Beispiele stehen zur Wahl, und das Panel Rechenweg zeigt Tabelle, Rechenschritte über Faktoren oder Anfang und Ende, Probe und Gegenrechnung.
Fach: Statistik
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