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Konfidenzintervall

Über diese App

Wiederholte Stichproben, gestapelte Konfidenzintervalle — der Anteil, der das wahre μ überdeckt, entspricht dem Konfidenzniveau. Gegen die Fehlvorstellung „95 % Wahrscheinlichkeit, dass μ im Intervall liegt": die Aussage gilt dem Verfahren, nicht dem einzelnen Intervall.

Worum es geht

Ein Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, der einen unbekannten Parameter wie den Erwartungswert μ mit einem gewählten Konfidenzniveau überdeckt. Bei bekannter Streuung σ lautet es x̄ ± z·σ/√n, wobei z vom Niveau abhängt (bei 95 % etwa 1,96). Das Niveau ist eine Aussage über das Verfahren: Wiederholt man die Erhebung sehr oft, überdecken etwa 95 % der Intervalle das wahre μ. Es ist keine Wahrscheinlichkeit dafür, dass μ in einem bestimmten Intervall liegt, denn μ ist fest und das Intervall zufällig.

Was die App zeigt

Jede Zeile ist eine Stichprobe aus einer Normalverteilung N(μ, σ) mit ihrem Intervall x̄ ± z·σ/√n. Die Intervalle stapeln sich untereinander, eine senkrechte Linie markiert das wahre μ. Intervalle, die μ überdecken, und solche, die es verfehlen, sind farblich unterschieden. Ein Wertepanel nennt μ, σ, n, den z-Wert, das theoretische Niveau und die tatsächliche Überdeckungsquote der gezeigten Intervalle.

Selbst ausprobieren

Wähle 95 % und ziehe mehrmals neue Stichproben: Meist verfehlen etwa 2 von 40 Intervallen das wahre μ, mal mehr, mal weniger. Erhöhe die Anzahl der Stichproben, und die Überdeckungsquote nähert sich dem Niveau. Stelle 99 % ein; die Intervalle werden breiter, und Fehltreffer werden seltener. Vergrößere dann die Stichprobengröße n und sieh, wie die Intervalle mit 1/√n schmaler werden, ohne dass sich die Überdeckungsquote ändert.

Häufige Fragen

Was bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall?
Es bedeutet, dass das Verfahren, mit dem das Intervall berechnet wird, bei vielen Wiederholungen in etwa 95 % der Fälle ein Intervall liefert, das den wahren Parameter enthält. Für ein einzelnes berechnetes Intervall gilt: Es enthält μ oder nicht. Die 95 % beziehen sich auf die Methode, nicht auf das einzelne Intervall.
Wie berechnet man ein Konfidenzintervall für den Mittelwert?
Bei bekannter Standardabweichung σ gilt x̄ ± z·σ/√n, mit z = 1,96 für 95 %. Ist σ unbekannt und wird aus der Stichprobe geschätzt, verwendet man die Standardabweichung s und das Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden. Der Ausdruck σ/√n heißt Standardfehler.
Wie hängt die Breite eines Konfidenzintervalls von n ab?
Die Breite ist proportional zu 1/√n. Um das Intervall zu halbieren, braucht man also die vierfache Stichprobengröße. Ein höheres Konfidenzniveau macht das Intervall bei gleichem n breiter.
Was kann ich in der Konfidenzintervall-App einstellen?
Du wählst das Konfidenzniveau (80, 90, 95 oder 99 %), die Stichprobengröße n und die Zahl der Stichproben und ziehst neue Stichproben. Die App zeigt, welche Intervalle μ überdecken, und vergleicht die Überdeckungsquote mit dem theoretischen Niveau.

Fach: Statistik

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