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Mittelwert und Umrechnung

Über diese App

365 Morgentemperaturen aus Reutlingen wandern einzeln über eine Brücke von °C nach °F, oder nur ihr Mittel x̄. Beide landen bei 47,12 °F: Das arithmetische Mittel ist invariant gegenüber linearen Transformationen, m·x̄ + c. Kelvin als zweites Beispiel, Quadrieren als Gegenprobe, bei der die Abkürzung danebenliegt.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Worum es geht

Das arithmetische Mittel verträgt lineare Transformationen: Rechnet man jeden Wert mit y = m·x + c um, ist das Mittel der neuen Werte genau m·x̄ + c. Beim Mitteln wird jede Rechnung durch n geteilt, der Faktor m lässt sich aus der Summe ziehen, und n-mal c durch n ergibt wieder c. Deshalb muss man für den Mittelwert in Fahrenheit nicht alle Messwerte umrechnen, eine einzige Rechnung genügt. Das gilt nur für lineare Umrechnungen. Beim Quadrieren ist das Mittel der Quadrate größer als das Quadrat des Mittels.

Was die App zeigt

Ein Klimaforscher misst ein Jahr lang jeden Morgen um 8 Uhr in Reutlingen die Temperatur. Oben steht der Jahresgang mit 365 Werten, daneben der Aufwand als 365 Kacheln gegen eine. Darunter liegen die °C-Skala und die °F-Skala, verbunden durch eine Brücke aus 365 Linien. Beim langen Weg wandert jeder Wert über seine Linie nach unten, danach wird gemittelt: 47,12 °F. Bei der Abkürzung fährt nur x̄ = 8,40 °C über die Brücke und landet an derselben Stelle.

Selbst ausprobieren

Starte den langen Weg und sieh zu, wie sich unten ein zweiter Hügel aufbaut und die Kacheln füllen. Fahre dann die Abkürzung: Die volle Raute landet genau in der hohlen Raute des langen Wegs. Schalte auf Kelvin, die Linien laufen jetzt parallel und beide Wege treffen 281,55 K. Schalte auf Quadrieren: Die Linien kreuzen sich, und die Abkürzung liegt um 50,34 daneben. Tippe auf einen Tag im Jahresgang, um seinen eigenen Weg über die Brücke zu sehen.

Häufige Fragen

Wie verändert sich der Mittelwert bei einer linearen Transformation?
Werden alle Werte mit y = m·x + c umgerechnet, gilt für das arithmetische Mittel ȳ = m·x̄ + c. Man kann also zuerst mitteln und dann einmal umrechnen. Beispiel: x̄ = 8,40 °C ergibt 1,8 · 8,40 + 32 = 47,12 °F.
Warum gilt das nicht für jede Umrechnung?
Die Abkürzung braucht, dass sich Faktor und Summand aus der Summe ziehen lassen, also eine lineare Umrechnung. Beim Quadrieren ist das Mittel der Quadrate größer als das Quadrat des Mittels; der Unterschied ist die mittlere quadratische Abweichung. Auch Wurzel, Logarithmus und Kehrwert vertragen die Abkürzung nicht.
Wie rechnet man Celsius in Fahrenheit und Kelvin um?
Fahrenheit: °F = 1,8 · °C + 32, also 0 °C = 32 °F und 100 °C = 212 °F. Kelvin: K = °C + 273,15. Beide Umrechnungen sind linear, deshalb gilt die Formel ȳ = m·x̄ + c für beide.
Was zeigt die Brücke in der App?
Jede Linie verbindet einen °C-Wert mit seinem umgerechneten Wert. Bei einer linearen Umrechnung bilden die Linien eine geordnete Leiter ohne Kreuzungen, die Mitte bleibt die Mitte. Beim Quadrieren kreuzen sich die Linien, weil etwa −5 und 5 beide bei 25 landen.

Fach: Statistik

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