Navier-Stokes
Über diese App
Die Gleichung hinter jeder Strömung, live gerechnet: Farbstoff im Feld rühren, Reynolds-Zahl von zäh bis turbulent drehen, Szenarien von Zylinder bis freiem Strahl. Jeder Term der Gleichung lässt sich einzeln abschalten — ohne den nichtlinearen Transportterm bricht die Wirbelstraße sofort zusammen. Dazu das Millennium-Problem: warum die Wirbelstreckung in zwei Dimensionen fehlt und in drei nicht.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Die Gleichung
Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung zäher Flüssigkeiten und Gase. Für ein inkompressibles Fluid lauten sie ρ(∂u/∂t + (u·∇)u) = −∇p + μ∇²u + f mit ∇·u = 0, also Newtons F = m·a pro Volumen. Der Konvektionsterm (u·∇)u ist der einzige nichtlineare Term: Das Feld transportiert sich selbst. Die Reynolds-Zahl Re = ρ·U·L/μ vergleicht Trägheit mit Zähigkeit und entscheidet über schleichende, laminare oder turbulente Strömung. Ob glatte Anfangsdaten in drei Dimensionen für alle Zeiten glatte Lösungen behalten, ist eines der Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute.
Was die App zeigt
Eine zweidimensionale Strömung wird live auf der Grafikkarte gerechnet (Stable-Fluids-Verfahren mit MacCormack-Advektion). Szenarien sind Zylinder, Tragfläche und freier Strahl; dargestellt wird wahlweise Farbstoff, Bahnlinien, Wirbelstärke, Geschwindigkeit, Stromlinien oder Druck. Jeder Term der Gleichung lässt sich einzeln abschalten. Ein eigenes Panel erklärt das Millennium-Problem: warum die Wirbelstreckung (ω·∇)u in 2D verschwindet und in 3D nicht, mit einer schematischen 3D-Wirbelröhre, einer Zeitleiste der wichtigsten Ergebnisse und dem Skalierungsargument.
Selbst ausprobieren
Dreh die Reynolds-Zahl von zäh bis turbulent und beobachte hinter dem Zylinder die Kármánsche Wirbelstraße. Schalte dann den Konvektionsterm ab: Die Wirbelstraße bricht sofort zusammen. Ohne Druckterm wird das Feld kompressibel, ohne Viskosität bleibt nur die Euler-Gleichung. Rühre direkt im Feld oder greif das Hindernis und verschiebe es, die Wirbelschleppe folgt live. Beachte: Die numerische Diffusion des Gitters wirkt wie zusätzliche Zähigkeit, der eingestellte Re-Wert ist deshalb nicht genau der erreichte.
Häufige Fragen
- Was beschreiben die Navier-Stokes-Gleichungen?
- Sie beschreiben, wie sich die Geschwindigkeit u und der Druck p in einer zähen Flüssigkeit oder einem Gas mit der Zeit ändern. Es ist das zweite Newtonsche Gesetz pro Volumen: Trägheit und Konvektion auf der einen Seite, Druckkräfte, Reibung und äußere Kräfte auf der anderen. Für inkompressible Strömungen kommt die Bedingung ∇·u = 0 hinzu.
- Was ist das Navier-Stokes-Millennium-Problem?
- Das Clay Mathematics Institute hat im Jahr 2000 eine Million Dollar für die Klärung ausgesetzt, ob die dreidimensionalen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für glatte Anfangsdaten mit endlicher Energie immer eine glatte Lösung für alle Zeiten haben, oder ob die Geschwindigkeit in endlicher Zeit unbeschränkt wachsen kann. In zwei Dimensionen ist die globale Glattheit bewiesen, in drei Dimensionen ist die Frage für den Fall ohne äußere Kraft offen.
- Was ist eine Kármánsche Wirbelstraße?
- Hinter einem umströmten Körper wie einem Zylinder lösen sich ab einer Reynolds-Zahl von etwa 50 abwechselnd links und rechts Wirbel ab. Sie bilden zwei versetzte Reihen gegenläufiger Wirbel. Das Muster ist an Brückenpfeilern, Schornsteinen und in Wolkenbildern hinter Inseln zu sehen.
- Wie genau ist die Simulation in der Navier-Stokes-App?
- Die App rechnet in zwei Dimensionen auf einem endlichen Gitter mit dem Stable-Fluids-Verfahren und eignet sich für die Anschauung, nicht für technische Auslegung. Die numerische Diffusion begrenzt die effektive Reynolds-Zahl, eine Wirbelverstärkung (vorticity confinement) gleicht das teilweise aus. Das Millennium-Problem betrifft den dreidimensionalen Fall, den die App nur schematisch zeigt.
Fach: Physik
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