Schwerpunkt-Brett: der Mittelwert als Gleichgewicht
Über diese App
Bauklötze auf einem gewichtslosen Styroporbrett: Es balanciert genau über dem Mittelwert, weil sich die Abweichungen Σ(xᵢ − x̄) aufheben. Stütze ziehen, Ausreißer verschieben, Median und Hebelarme zeigen; dazu das Gesamtmittel zweier Gruppen statt des Mittels der Mittel.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Das arithmetische Mittel x̄ ist der Schwerpunkt einer Verteilung. Stellt man sich jeden Messwert als gleich schweren Klotz auf einem gewichtslosen Brett vor, liegt das Brett genau dann waagrecht, wenn die Stütze unter x̄ steht. Der Grund ist die Nullsumme der Abweichungen: Σ(xᵢ − x̄) = 0. Die Abweichungen links und rechts vom Mittelwert heben sich auf wie Hebelarme an einer Wippe. Der Median dagegen zählt nur, wie viele Werte links und rechts liegen, nicht wie weit sie entfernt sind.
Was die App zeigt
Die App zeigt den Versuch aus der Vorlesung: 16 Familien mit 1, 2, 3, 4 und 7 Kindern stehen als Klötze über ihrer Kinderzahl. Das Brett balanciert bei 2,5, dem Mittelwert 40/16. Beim Median 2 und in der Mitte der Skala kippt es. Auf Wunsch erscheinen die Abweichungen als Pfeile von x̄ zu jedem Klotz und darunter als Bilanz: links 9, rechts 9. Ein zweites Beispiel legt 5 Frauen mit 173 cm und 13 Männer mit 175 cm zusammen; das Gesamtmittel ist 174,44 cm, nicht 174 cm. Ein Wertepanel zeigt Häufigkeitstabelle, x̄, Median und Drehmoment.
Selbst ausprobieren
Zieh die Stütze unter dem Brett, bis die Wasserwaage waagrecht zeigt, und vergleiche die Stelle mit x̄. Schieb den Ausreißer von 7 auf 11 Kinder: Das Brett kippt nach rechts, der Finger muss bis 2,75 mitwandern, der Median bleibt 2. Zieh einzelne Klötze auf andere Zahlen und beobachte, wie sich Schwerpunkt und Tabelle ändern. In der Gruppenszene veränderst du Gruppengrößen und Mittelwerte und siehst, dass die größere Gruppe den Schwerpunkt zu sich zieht.
Häufige Fragen
- Warum ist das arithmetische Mittel der Schwerpunkt?
- Die Summe der Abweichungen aller Werte vom Mittelwert ist null: Σ(xᵢ − x̄) = 0. Denkt man sich jeden Wert als gleiches Gewicht auf einer Skala, ist das genau die Bedingung, dass sich die Drehmomente links und rechts aufheben. Deshalb balanciert ein Brett mit diesen Gewichten über x̄.
- Warum balanciert das Brett nicht beim Median?
- Der Median teilt die Werte nur der Anzahl nach in zwei Hälften. Für das Gleichgewicht zählt aber auch der Abstand. Ein Ausreißer weit rechts hat einen langen Hebel und zieht den Schwerpunkt nach rechts, während der Median unverändert bleibt.
- Wie berechnet man das Gesamtmittel zweier Gruppen?
- Man gewichtet die Gruppenmittel mit den Gruppengrößen: x̄ = (n₁·x̄₁ + n₂·x̄₂)/(n₁ + n₂). Bei 5 Frauen mit 173 cm und 13 Männern mit 175 cm ergibt das 3140/18 = 174,44 cm. Das einfache Mittel der Mittel, 174 cm, ist nur richtig, wenn beide Gruppen gleich groß sind.
- Was kann ich in der App Schwerpunkt-Brett einstellen?
- Du verschiebst die Stütze, den Ausreißer und einzelne Klötze, blendest Mittelwert, Median und Abweichungen ein und wechselst zur Szene mit zwei Gruppen, deren Größe und Mittel du einstellst. Das Wertepanel zeigt Häufigkeitstabelle, x̄, Median, Drehmoment und Neigung.
Fach: Statistik
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