Wurzelfunktionen
Über diese App
√x als Umkehrung/Spiegelung von x² an y=x. Wurzelindex n und Parameter a, c, d; Definitions- und Wertemenge hervorgehoben.
Wurzel als Umkehrung
Die Wurzelfunktion g(x) = √x ist für x ≥ 0 die Umkehrfunktion von f(x) = x²: Was das Quadrieren bewirkt, macht die Wurzel rückgängig. Geometrisch entsteht der Graph einer Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Geraden y = x. Allgemein betrachtet man g(x) = a·ⁿ√(x − c) + d; a streckt den Graphen und spiegelt ihn bei a < 0, c verschiebt nach rechts, d nach oben. Der Wurzelindex n legt fest, welche Potenz umgekehrt wird.
Was die App zeigt
Regler für Wurzelindex n, Streckung a und die Verschiebungen c und d verformen den Graphen live. Ein Schalter blendet die Parabel x² und die Spiegelachse y = x ein, sodass die Umkehrbeziehung sichtbar wird. Das Wertepanel nennt Funktionsterm und Parameter, Definitions- und Wertemenge werden im Graphen hervorgehoben. Ein Gitter hilft beim Ablesen.
Worauf achten
Für gerade Wurzelexponenten wie 2 oder 4 ist die Wurzel nur für x − c ≥ 0 definiert, der Graph beginnt also an der Stelle x = c. Für ungerade Exponenten wie 3 oder 5 ist die Funktion für alle reellen x definiert, da auch negative Zahlen eine reelle dritte Wurzel haben. Vergleiche, wie sich Definitions- und Wertemenge mit c, d und dem Vorzeichen von a ändern.
Häufige Fragen
- Warum ist die Wurzelfunktion die Umkehrfunktion von x²?
- Für x ≥ 0 gilt √(x²) = x und (√x)² = x, die beiden Funktionen heben sich also gegenseitig auf. Ohne die Einschränkung x ≥ 0 wäre x² nicht umkehrbar, weil zum Beispiel 2 und −2 denselben Funktionswert 4 haben.
- Was ist die Definitionsmenge einer Wurzelfunktion?
- Bei geradem Wurzelexponenten muss der Radikand nicht negativ sein. Für g(x) = √(x − c) gilt daher D = {x | x ≥ c}. Bei ungeradem Exponenten, etwa der dritten Wurzel, ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert.
- Wie entsteht der Graph einer Umkehrfunktion?
- Man spiegelt den Graphen der ursprünglichen Funktion an der Winkelhalbierenden y = x. Dabei vertauschen sich x- und y-Koordinaten jedes Punkts. Voraussetzung ist, dass die Funktion auf dem betrachteten Bereich umkehrbar, also streng monoton ist.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du änderst Wurzelindex, Streckung und Verschiebungen per Regler, blendest Parabel und Spiegelachse ein und siehst Definitions- und Wertemenge hervorgehoben.
Fach: Schulmathematik (Gymnasium)
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