Fläche zwischen zwei Graphen
Über diese App
Die Fläche zwischen f und g als ∫(f−g): Schnittpunkte werden automatisch gefunden und das Intervall „von Schnittpunkt zu Schnittpunkt" gelegt. Kreuzen sich die Kurven, wird abschnittsweise „obere minus untere" integriert.
Worum es geht
Die Fläche zwischen zwei Graphen über [a, b] ist ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, solange f überall oben liegt: obere minus untere Funktion. Schneiden sich die Graphen im Intervall, tauschen oben und unten die Rollen, und das Integral zählt diese Stücke mit negativem Vorzeichen. Für die geometrische Fläche zerlegt man deshalb an den Schnittpunkten und addiert die Beträge, also ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Beispiel: Zwischen x² und x liegt auf [0, 1] die Fläche 1/6.
Was die App zeigt
Die Fläche zwischen f und g ist eingefärbt, getrennt nach „f oben“ und „g oben“. Schnittpunkte werden markiert. Die App gibt das Integral ∫ₐᵇ (f − g) dx und die geometrische Fläche nebeneinander aus und meldet, ob das Intervall aus einem oder mehreren Abschnitten besteht. Der Knopf „Von Schnittpunkt zu Schnittpunkt“ legt [a, b] zwischen zwei benachbarte Schnittpunkte.
Selbst ausprobieren
Vier Paare stehen zur Wahl: Parabel und Gerade (x² und x), zwei Parabeln (2 − x² und x²), Sinus und Kosinus sowie x³ und x. Verschiebe a und b über einen Schnittpunkt hinweg und beobachte, wie Integral und geometrische Fläche auseinanderlaufen. Bei x³ und x liegen drei Schnittpunkte; dort wechselt die obere Funktion zweimal.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Funktionen?
- Zuerst bestimmt man die Schnittpunkte aus f(x) = g(x). Dann integriert man zwischen benachbarten Schnittpunkten jeweils „obere minus untere“ Funktion und addiert die Ergebnisse. Ist unklar, welche oben liegt, nimmt man den Betrag jedes Teilintegrals.
- Was passiert, wenn sich die Graphen im Intervall schneiden?
- Dann liegt abschnittsweise mal f, mal g oben. Das Integral von f − g zählt die Abschnitte mit g oben negativ, sodass sich Teile aufheben können. Für die Fläche integriert man getrennt und addiert die Beträge.
- Wie groß ist die Fläche zwischen y = x² und y = x?
- Die Graphen schneiden sich bei x = 0 und x = 1, dazwischen liegt x oben. Die Fläche ist ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.
- Welche Kurvenpaare enthält die App?
- Parabel und Gerade, zwei Parabeln, Sinus und Kosinus sowie eine kubische Funktion mit einer Geraden. Du verschiebst die Grenzen frei oder springst per Knopf zum Intervall zwischen zwei Schnittpunkten.
Fach: Analysis (eindimensional)
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