Grafisch ableiten (f → f′)
Über diese App
Zwei gekoppelte Plots: oben f(x) mit Tangente an der beweglichen Stelle x, unten zeichnet ein Punkt die Ableitung f′ nach. f steigt ⇒ f′>0, Extrema von f ⇒ Nullstellen von f′, Wendepunkt ⇒ Extremum von f′. „Abtasten" lässt x durchlaufen.
Worum es geht
Die Ableitung f′(x) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x. Beim grafischen Ableiten liest man diese Steigung an vielen Stellen ab und trägt sie als neuen Graphen auf. Dabei gelten feste Zusammenhänge: Wo f steigt, ist f′ positiv, wo f fällt, negativ. Hoch- und Tiefpunkte von f haben eine waagerechte Tangente, f′ hat dort eine Nullstelle. An einem Wendepunkt von f, der Stelle mit der betragsmäßig größten Steigung in der Umgebung, hat f′ ein Extremum.
Was die App zeigt
Oben steht f mit der Tangente an der beweglichen Stelle x, unten zeichnet ein Punkt (x, f′(x)) die Ableitungskurve nach. Zur Wahl stehen vier Funktionen: die Kurve ⅛x³ − 2,5x − 1, die Parabel x², sin x und x³. Ein Statusfeld meldet, ob f gerade steigt, fällt oder eine waagerechte Tangente hat, und die Werte f(x) und f′(x) stehen daneben.
Selbst ausprobieren
Ziehe x im Bild oder mit dem Regler, oder starte „Abtasten“, damit x den ganzen Bereich durchläuft. Halte bei ⅛x³ − 2,5x − 1 an den Extrema an: Unten liegt der Punkt genau auf der x-Achse. Am Wendepunkt bei x = 0 ist die Tangente am steilsten, und f′ erreicht dort seinen Tiefpunkt. Bei x³ sieht man, dass eine Nullstelle von f′ nicht immer ein Extremum von f bedeutet.
Häufige Fragen
- Wie leitet man eine Funktion grafisch ab?
- Man legt an mehreren Stellen Tangenten an den Graphen von f, schätzt ihre Steigung und trägt diese Werte über den gleichen x-Werten als Punkte ein. Zuerst markiert man die Stellen mit waagerechter Tangente als Nullstellen von f′, dann die steilsten Stellen als Extrema von f′. Dazwischen verbindet man passend zu Steigen und Fallen von f.
- Was hat ein Wendepunkt von f mit der Ableitung zu tun?
- An einem Wendepunkt wechselt f die Krümmung, die Steigung ist dort lokal am größten oder am kleinsten. Deshalb hat f′ an dieser Stelle ein Extremum und f″ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
- Hat jede Nullstelle von f′ einen Hoch- oder Tiefpunkt?
- Nein. Bei f(x) = x³ ist f′(0) = 0, f steigt aber links und rechts von 0 weiter. Dort liegt ein Sattelpunkt, ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Ein Extremum liegt nur vor, wenn f′ an der Nullstelle das Vorzeichen wechselt.
- Was zeigt die App zum grafischen Ableiten?
- Sie koppelt zwei Plots: oben f mit Tangente, unten die Ableitungskurve, die ein Punkt beim Verschieben von x nachzeichnet. Vier Beispielfunktionen, ein Statusfeld zu Steigen und Fallen und ein automatischer Durchlauf helfen beim Ablesen.
Fach: Analysis (eindimensional)
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