Extremwertproblem: das größte Rechteck
Über diese App
Optimierung unter Nebenbedingung am Klassiker „Rechteck im Dreieck": Breite x ziehen, Höhe folgt der Nebenbedingung, Zielfunktion A(x)=h·x·(1−x/b) wird live geplottet — das Maximum bei x=b/2 leuchtet auf. Schritte Zielgröße → Nebenbedingung → Einsetzen → Ableiten.
Die Aufgabe
In ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundlinie b und Höhe h soll ein achsenparalleles Rechteck mit möglichst großer Fläche passen. Die obere rechte Ecke liegt auf der Hypotenuse y = h · (1 − x/b). Zielgröße ist A = x · y, die Nebenbedingung verknüpft y mit x. Eingesetzt entsteht A(x) = h · x · (1 − x/b), eine nach unten geöffnete Parabel. Aus A′(x) = h · (1 − 2x/b) = 0 folgt x = b/2, y = h/2 und A_max = h · b/4, also genau die Hälfte der Dreiecksfläche.
Was die App zeigt
Links liegt das Dreieck mit dem Rechteck, dessen Ecke auf der Geraden gleitet, rechts der Graph von A(x) mit dem aktuellen Punkt. Breite x, Höhe y(x) und Fläche A(x) stehen im Panel „Rechteck“. Grundlinie b und Höhe h lassen sich per Regler ändern. Das Info-Panel führt in fünf Schritten durch die Rechnung: Zielgröße, Nebenbedingung, Einsetzen, Ableiten, Ergebnis.
Selbst ausprobieren
Verschiebe x und beobachte, wie das Rechteck zuerst wächst und dann wieder flacher wird, während A(x) einen Bogen beschreibt. „Abtasten“ lässt x automatisch durchlaufen, „Zum Maximum springen“ setzt x = b/2. Ändere b und h: Die Lage des Maximums wandert mit, das Verhältnis bleibt gleich, halbe Breite und halbe Höhe.
Häufige Fragen
- Wie löst man eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung?
- Man stellt zuerst die Zielfunktion auf, etwa die Fläche A = x · y. Dann drückt man mit der Nebenbedingung eine Variable durch die andere aus und setzt ein, sodass A nur noch von einer Variablen abhängt. Anschließend leitet man ab, setzt A′ = 0 und prüft mit A″ oder den Randwerten, ob ein Maximum vorliegt.
- Welches Rechteck im Dreieck hat die größte Fläche?
- Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten b und h hat das achsenparallele Rechteck mit Breite b/2 und Höhe h/2 die größte Fläche. Sie beträgt h · b/4, das ist die Hälfte der Dreiecksfläche h · b/2.
- Woran erkennt man, dass es ein Maximum und kein Minimum ist?
- Bei A(x) = h · x · (1 − x/b) ist die zweite Ableitung A″(x) = −2h/b negativ, die Parabel ist nach unten geöffnet. An den Rändern x = 0 und x = b ist die Fläche null. Die Stelle x = b/2 ist deshalb das globale Maximum.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du ziehst die Breite x des Rechtecks, änderst Grundlinie b und Höhe h des Dreiecks und siehst A(x) live als Graph. Ein Knopf springt zum Maximum, das Info-Panel zeigt den Rechenweg in fünf Schritten.
Fach: Analysis (eindimensional)
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