VisuApps
Folgen, Grenzwerte und Reihen anschaulich erkunden
Apps
Differentialquotient als Grenzwert: drei Folgen hₙ → 0 (rechts, links, alternierend) erzeugen drei Folgen von Sekanten — bei x², x³, sin(x) verschmelzen sie zur Tangente; bei |x|, √x und x·sin(1/x) versagen sie sichtbar.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Modell f(t)=S−c·e^{−k·t} mit Sättigungsgrenze S (waagerechte Asymptote). Das „Sättigungsmanko" S−f(t) schrumpft sichtbar; die Differentialgleichung f′=k·(S−f) macht klar: je kleiner das Manko, desto langsamer das Wachstum.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Modell N(t)=N₀·e^{k·t}: Slider für N₀ und k (k>0 Wachstum, k<0 Zerfall). Die Tangente zeigt N′=k·N (Rate proportional zum Bestand); Verdopplungszeit bzw. Halbwertszeit werden automatisch berechnet und markiert.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Optimierung unter Nebenbedingung am Klassiker „Rechteck im Dreieck": Breite x ziehen, Höhe folgt der Nebenbedingung, Zielfunktion A(x)=h·x·(1−x/b) wird live geplottet — das Maximum bei x=b/2 leuchtet auf. Schritte Zielgröße → Nebenbedingung → Einsetzen → Ableiten.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Die Fläche zwischen f und g als ∫(f−g): Schnittpunkte werden automatisch gefunden und das Intervall „von Schnittpunkt zu Schnittpunkt" gelegt. Kreuzen sich die Kurven, wird abschnittsweise „obere minus untere" integriert.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Das Salamischeiben-Argument: Die Flächenfunktion A(x) = ∫ₐˣ f(t)dt ist eine Stammfunktion von f. Ein dünner Flächenstreifen der Breite dx und Höhe f(x) kommt hinzu → A′(x) = f(x). Zwei gekoppelte Plots zeigen: die Steigung der A-Kurve ist die Höhe von f — auch bei negativen Werten.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Stetigkeit über das Folgenkriterium: Folge xₙ → x₀ von links, von rechts, alternierend — wandert die Bildfolge f(xₙ) in den ε-Schlauch um f(x₀)? Sechs Beispiele: Parabel, Sprung, hebbare Lücke, Oszillation sin(1/x), Treppe, Polstelle.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Senkrechte Asymptoten an den Polstellen; je nach Gradvergleich Zähler/Nenner eine waagerechte (z<n: y=0, z=n: y=Quotient) oder schiefe Asymptote (z=n+1, per Polynomdivision). Die zutreffende Asymptote wird gestrichelt eingezeichnet und erklärt.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Zwei gekoppelte Plots: oben f(x) mit Tangente an der beweglichen Stelle x, unten zeichnet ein Punkt die Ableitung f′ nach. f steigt ⇒ f′>0, Extrema von f ⇒ Nullstellen von f′, Wendepunkt ⇒ Extremum von f′. „Abtasten" lässt x durchlaufen.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Fliege in 3D entlang der Folge in den ε-Schlauch hinein — drei Beispielfolgen (harmonisch, alternierend ohne Grenzwert, rational mit L = 1/2) zur Auswahl.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Mit N gleich großen Ziegelsteinen einen beliebig großen Überhang bauen — die harmonische Reihe wird als wachsender Stapel sichtbar. Slider bis N = 10 000, Auto-Frame, Schwerpunktanzeige.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Beide Teile des HDI intuitiv animiert: d/dx ∫ₐˣ f = f(x) und ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a). Die eingefärbte Fläche unter f und die Höhendifferenz der Stammfunktion F wachsen im Gleichschritt — die Kernidee zum Anfassen.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Koeffizienten eingeben, Stelle x₁ wählen und das Schema Spalte für Spalte aufbauen: herunterschreiben, mit x₁ multiplizieren, addieren — die letzte Zahl ist f(x₁), die Zeile darüber der Quotient f₁. Bei Rest 0 die Nullstelle abspalten und die Linearfaktorkette wachsen sehen; Graph mit f, f₁ und dem Punkt (x₁, f(x₁)).
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Zwei verkettete Funktionen in 3D: x → u = g(x) → y = f(u). Steigungsdreiecke an P und Q teilen sich das gemeinsame Δu — der teal pulsierende „Scharnier"-Strich macht sichtbar, warum sich die Ableitungen multiplizieren. Vier Kombinationen wählbar.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Vollständige Kurvendiskussion in acht didaktischen Schritten — Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extrema, Wendepunkte, Asymptoten — kumulativ aufdeckend für drei Funktionen (Polynom, gebrochen-rational mit Pol, rational mit parabolischer Asymptote).
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Der Mittelwert m=1/(b−a)·∫ₐᵇf als Höhe eines flächengleichen Rechtecks (Über- und Unterschüsse heben sich auf). Der Mittelwertsatz markiert eine Stelle ξ mit f(ξ)=m. Intervallgrenzen ziehbar, mehrere Funktionen.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Integral ≠ Flächeninhalt: Teilflächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Das Integral (mit Vorzeichen) und der echte Flächeninhalt (Summe der Beträge) stehen nebeneinander — die Nullstelle zerlegt das Intervall.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Stückfunktion x+2 | a+bx² am Knick x=1: Slider a, b finden — Stetigkeit ist eine Gerade im (a,b)-Raum, Differenzierbarkeit ein Punkt. Mit Mini-Parameterraum-Plot, der die Lösungsmenge live zeigt.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Stückfunktion ½x²+x−4 | mx+b am Knick x=3 — Slider m, b mit Snap-Buttons auf Stetigkeit (3m+b=3.5) und Differenzierbarkeit (m=4, b=−8.5). Mini-Parameterraum-Plot zeigt Gerade & Schnittpunkt.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Das uv-Rechteck-Argument: u·v = ∫v du + ∫u dv, also ∫u dv = uv − ∫v du. Die beiden Teilflächen und der Rechteck-Term wachsen synchron. Daneben der Rechenweg Schritt für Schritt — u und dv wählen (LIATE), ableiten, integrieren, einsetzen.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Klassische Polynomdivision als animierte Tableau-Choreografie: führender Term dividieren, multiplizieren, abziehen — vier Beispiele inkl. Rest. Am Ende erscheint die Faktorisierung mit nacheinander aufglühenden Faktoren.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Aus einer Zuflussrate r(t) den Bestand zurückgewinnen: die Fläche unter r bis t ist die Bestandsänderung, der rekonstruierte Bestand V(t) baut sich darunter auf — Steigung von V = Höhe von r. Mit Abfluss (negative Rate) und Startwert V₀.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Das bestimmte Integral als Grenzwert von Riemannsummen: 3D-Säulenlandschaft unter der Kurve, fünf Beispielfunktionen, Stützstellenwahl (Unter-/Ober-/Links-/Mitte-/Rechts-Summe), „Verfeinern"-Animation (Säulen werden immer dünner). Zwei Polstellen-Sonderfälle zeigen: bei 1/√x existiert das Integral trotz Pol, bei 1/x² wächst die Summe über alle Grenzen — der Grenzwert existiert nicht.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Die Kurve y=f(x) rotiert in 3D um die x-Achse zum Rotationskörper. Die Scheibenmethode dV=π·f(x)²·dx als bewegliche Kreisscheibe, das Volumen V=π·∫f² live; ein Scheibenstapel zeigt die Riemann-Näherung. Drehbar mit weicher Auto-Rotation.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Drei Aufgaben aus der Lehre: Parameter c im Stück 2x+c (für welches c stetig?), x/(x+2) | (x+1)/2 mit Polstelle und Sprung, |x+3| + |x−4| − 5 als stückweise linearer Bogen.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Integration durch Substitution an Beispielen: die x-Fläche wird durch u = g(x) zur u-Fläche verzerrt (g′(x) erklärt dx → du), beide Flächen bleiben gleich groß. Synchron dazu der Rechenweg Schritt für Schritt — innere Funktion finden, ableiten, ersetzen, Grenzen umrechnen.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Eine Funktion aus ihren Ableitungen aufbauen: Schieberegler fügt Tₙ Glied für Glied hinzu, Entwicklungspunkt a frei im Bild ziehbar, einblendbares Formel-Panel (horizontal scrollbar) mit farbig hervorgehobenem neuesten Glied. Sechs Beispiele (eˣ, sin, cos, ln, √x, 1/(1−x)) inkl. Konvergenzradius-Schattierung.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Der Approximationsfehler Rₙ(x) = f(x) − Tₙ(x) als schattierte Fläche zwischen Funktion und Näherung. Ziehbarer Messpunkt x* liest den Fehler ab, Lagrange-Restglied erklärt das (x−a)ⁿ⁺¹-Verhalten — außerhalb des Konvergenzradius wächst der Fehler trotz hohem n.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
f und f⁻¹ als Spiegelbilder an der Winkelhalbierenden y=x. Ein Punkt P=(a,f(a)) wandert auf f, sein Spiegelpunkt (f(a),a) auf f⁻¹. e^x↔ln, x²↔√x, x³↔∛x — mit Definitionsbereichs-Einschränkung und der Kehrwert-Beziehung der Steigungen.
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Polynom in Linearfaktordarstellung: Nullstellen mit Vielfachheit 1/2/3 setzen. Ungerade Vielfachheit ⇒ der Graph schneidet die x-Achse (1 transversal, 3 mit Sattel), gerade Vielfachheit ⇒ er berührt sie. Mit Beispiel (x−1)(x−3)².
Analysis (eindimensional)Ausprobieren
Dreischrittiger Beweis-Spaziergang: (1) ln′(x) = 1/x aus dem Differentialquotient (mit e als Grenzwert), (2) Umkehrregel — Spiegelung an y=x, Steigungen werden zu Kehrwerten, (3) (eˣ)′ = 1 / (1/eˣ) = eˣ. Live-Algebra im Beweis-Panel.
Analysis (eindimensional)AusprobierenDu möchtest diese Apps in deinen Kursen nutzen? Lass uns gemeinsam schauen, was zu dir passt.
Ein Formular, drei Anliegen. Wir antworten persönlich.
Wir zeigen heyprof an deinem eigenen Stoff. Sag uns, was du unterrichtest, dann bereiten wir das Gespräch darauf vor.