Stetigkeit — drei klassische Beispiele
Über diese App
Drei Aufgaben aus der Lehre: Parameter c im Stück 2x+c (für welches c stetig?), x/(x+2) | (x+1)/2 mit Polstelle und Sprung, |x+3| + |x−4| − 5 als stückweise linearer Bogen.
Stetigkeit an einer Stelle
Eine Funktion f ist stetig in a, wenn linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen: lim f(x) für x → a⁻ = lim f(x) für x → a⁺ = f(a). Bei stückweise definierten Funktionen sind die Nahtstellen die kritischen Punkte. Dass f dort definiert ist, reicht nicht; die beiden einseitigen Grenzwerte müssen gleich sein. Eine Polstelle ist dagegen eine Definitionslücke, an der f über alle Grenzen wächst.
Die drei Aufgaben
Beispiel 1: f(x) = x² für 0 ≤ x ≤ 1 und 2x + c für x > 1. Ein Regler stellt c ein, die App zeigt den Sprung Δ; stetig wird f für 2 + c = 1, also c = −1. Beispiel 2: x/(x + 2) für x < 1 und (x + 1)/2 für x ≥ 1. Bei x = 1 springt f von ⅓ auf 1 und ist nur rechtsseitig stetig; bei x = −2 liegt eine Polstelle. Beispiel 3: |x + 3| + |x − 4| − 5 zerfällt in −2x − 4, die Konstante 2 und 2x − 6.
Worauf achten
Im Verdikt-Panel stehen links- und rechtsseitiger Grenzwert, f(1) und der Sprung Δ nebeneinander. Bei Beispiel 3 kannst du die Knickpunkte bei x = −3 und x = 4 hervorheben: Dort stimmen die einseitigen Grenzwerte überein, f ist also überall stetig. An den Knicken haben die Stücke aber verschiedene Steigungen, deshalb ist f dort nicht differenzierbar. Der Plot lässt sich zoomen und verschieben.
Häufige Fragen
- Wie prüft man Stetigkeit bei einer abschnittsweise definierten Funktion?
- An jeder Nahtstelle a berechnet man den linksseitigen Grenzwert mit der linken Vorschrift und den rechtsseitigen mit der rechten. Stimmen beide mit f(a) überein, ist f dort stetig. Innerhalb der Stücke sind Polynome und die meisten Standardfunktionen ohnehin stetig.
- Wie bestimmt man einen Parameter, damit eine Funktion stetig ist?
- Man setzt die beiden einseitigen Grenzwerte an der Nahtstelle gleich und löst nach dem Parameter. Bei x² für x ≤ 1 und 2x + c für x > 1 ergibt das 1 = 2 + c, also c = −1.
- Ist eine Funktion mit Knick stetig?
- Ja, ein Knick ist eine Stelle, an der der Graph zusammenhängt, aber die Steigung springt. Ein Beispiel ist |x + 3| + |x − 4| − 5 bei x = −3 und x = 4. Die Funktion ist dort stetig, aber nicht differenzierbar.
- Was zeigt die App zu jedem Beispiel?
- Den Graphen mit offenen und gefüllten Randpunkten, die einseitigen Grenzwerte, den Funktionswert und ein Verdikt wie „stetig“, „unstetig (Sprung)“ oder „überall stetig“. Bei Beispiel 1 stellst du c per Regler ein oder springst direkt auf c = −1.
Fach: Analysis (eindimensional)
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