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Einheiten im Integral: Rate mal Zeit

Über diese App

Ein Streifen unter einer Rate ist Höhe mal Breite, mit Einheiten an beiden Kanten: 5,94 m/s · 1 s = 5,94 m. Die Streifen summieren sich zu Weg, Volumen, Energie oder Ladung, keiner Rate mehr. Unten der Bestand mit Anfangswert: Das Integral ist die Änderung. Fünf Sachkontexte von Geschwindigkeit bis Photovoltaik, Prüffrage „Welche Einheit?“.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Worum es geht

Integriert man eine Rate über der Zeit, hat das Ergebnis die Einheit der Rate mal die Einheit der Zeit. Das Integral einer Geschwindigkeit in m/s über die Zeit in s ist ein Weg in m, das Integral einer Leistung in kW über Stunden eine Energie in kWh, das Integral einer Stromstärke in A über Sekunden eine Ladung in C. Das Integral ist dabei die Änderung des Bestands: ∫ₐᵇ f(t) dt = B(b) − B(a). Den Bestand selbst erhält man erst mit dem Anfangswert.

Was die App zeigt

Oben steht die Rate mit beschrifteten Achsen und darunter n Streifen. Ein Streifen ist hervorgehoben: links seine Höhe in der Einheit der Rate, oben seine Breite Δt in der Einheit der Zeit, darüber das Produkt, etwa 5,94 m/s · 1 s = 5,94 m. Die Kopfzeile zeigt die Summe der Streifen und das exakte Integral mit Einheit. Unten steht der Bestand mit Anfangswert, der Treppe der Streifensumme und Klammern für Anfangswert, Änderung und Bestand. Es gibt fünf Sachkontexte: Geschwindigkeit, Zufluss, Photovoltaik, Strom und Pegel.

Selbst ausprobieren

Beantworte die Prüffrage „Welche Einheit hat das Integral?“ und lies die Begründung. Starte „Aufsummieren“: Eine Zeitmarke läuft von a nach b, jeder Streifen hebt den Bestand unten um sein Stück an. Verschiebe den Anfangswert und beobachte, dass sich der Bestand ändert, das Integral aber nicht. Beim Pegel siehst du negative Streifen: Fällt das Wasser, nimmt der Bestand ab, und von 0 bis 8 Stunden ist die Änderung null.

Häufige Fragen

Welche Einheit hat ein Integral?
Die Einheit der Funktion mal die Einheit der Integrationsvariablen. Für ∫ v(t) dt mit v in m/s und t in s ergibt sich m/s · s = m. Der Grund: Jeder Streifen der Riemann-Summe ist f(t) · Δt, und eine Summe gleichartiger Größen hat dieselbe Einheit.
Warum ist das Integral der Geschwindigkeit ein Weg?
In einem kurzen Zeitstück Δt legt ein Körper mit Geschwindigkeit v ungefähr die Strecke v · Δt zurück. Summiert man diese Stücke und macht sie immer feiner, entsteht ∫ v dt, die gesamte Ortsänderung in Metern. Die Einheit m/s bleibt nur bei v selbst.
Ist das Integral der Bestand?
Nein, es ist die Änderung des Bestands zwischen a und b. Waren in einem Tank am Anfang 30 L und fließen 50 L zu, ist das Integral der Zuflussrate 50 L, der Bestand am Ende aber 80 L. Es gilt B(b) = B(a) + ∫ₐᵇ f(t) dt.
Was kann ich in der App ausprobieren?
Du wählst einen von fünf Sachkontexten, stellst Intervall und Streifenzahl ein, tippst einen Streifen an und liest Höhe, Breite und Produkt mit Einheiten ab. Du lässt die Streifen aufsummieren, verschiebst den Anfangswert und beantwortest die Prüffrage zur Einheit des Integrals.

Fach: Analysis (eindimensional)

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