Stammfunktionen: die Schar F + C
Über diese App
Zu f gibt es unendlich viele Stammfunktionen F + C — senkrecht verschobene Kopien mit derselben Steigung f(x₀) an jeder Stelle. Oben f mit Lineal, unten die Schar mit parallelen Tangenten; Punkt P legt C fest. Probe durch Ableiten entlarvt typische Fehler wie xⁿ → n·xⁿ⁻¹. Sechs Funktionen von x² bis eˣ.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F′ = f gilt. Mit F ist auch F + C eine Stammfunktion, denn die Ableitung einer Konstanten ist 0. Auf einem Intervall unterscheiden sich zwei Stammfunktionen nur um eine solche Konstante. Ihre Graphen sind senkrecht verschobene Kopien und haben an jeder Stelle x dieselbe Steigung f(x). Erst eine Zusatzbedingung, etwa ein Punkt P, auf dem der Graph liegen soll, legt C fest: C = y_P − F(x_P).
Was die App zeigt
Zwei Karten teilen sich die x-Achse. Oben steht f mit einem Lineal bei x₀ und der Höhe f(x₀). Unten liegt die Schar F + C als blasse Kurven, eine Stammfunktion ist hervorgehoben. Am Lineal hat jede Kurve eine kurze Tangente, und alle Tangenten sind parallel, mit der Steigung f(x₀). Ein Pfeil zeigt den Abstand C zur Kurve mit C = 0. Zur Wahl stehen x², 2x + 1, cos x, 1/x² für x > 0, eˣ und 3x² − 4x.
Selbst ausprobieren
Verschiebe C und beobachte, wie die Kurve durch die Schar rutscht, ohne ihre Form zu ändern. Zieh das Lineal: Die Tangenten bleiben überall parallel. Zieh den Punkt P, dann springt die hervorgehobene Kurve auf die eine, die durch P geht. Im Panel „Probe“ prüfst du Kandidaten durch Ableiten, darunter typische Fehler wie 2x statt x³/3. Ein falscher Kandidat kreuzt die Tangenten der Schar, und G′ weicht oben sichtbar von f ab.
Häufige Fragen
- Warum gibt es unendlich viele Stammfunktionen?
- Weil eine Konstante beim Ableiten wegfällt: (F + C)′ = F′ = f für jede Zahl C. Jede Stammfunktion F liefert deshalb eine ganze Schar F + C, deren Graphen senkrecht gegeneinander verschoben sind.
- Wie bestimmt man die Stammfunktion durch einen Punkt?
- Man setzt den Punkt P(x_P | y_P) in F(x) + C ein und löst nach C auf: C = y_P − F(x_P). Für f(x) = cos x und P(0 | 2) ergibt sich C = 2, also F(x) = sin x + 2. Auf einem Intervall geht durch jeden Punkt genau eine Stammfunktion.
- Wie prüft man, ob eine Stammfunktion richtig ist?
- Man leitet sie ab. Kommt genau f heraus, ist sie richtig. Ein häufiger Fehler ist, f abzuleiten statt aufzuleiten: Zu x² ist x³/3 eine Stammfunktion, 2x ist dagegen die Ableitung und besteht die Probe nicht.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst eine von sechs Funktionen, verschiebst die Konstante C, das Lineal x₀ und den Punkt P, schaltest Schar, Tangenten und Steigungsfeld ein und prüfst im Panel „Probe“ richtige und falsche Kandidaten.
Fach: Analysis (eindimensional)
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