Integralregeln: Flächen zusammensetzen
Über diese App
Das Integral als orientierte Flächenbilanz und seine vier Regeln: Intervalladditivität mit ziehbarer Zwischenstelle c (auch außerhalb von [a; b]), Vertauschen der Grenzen mit negativer Streifenbreite dx, Faktorregel mit Regler r und Summenregel mit f, g und f + g. Unten jede Teilfläche als Pfeil: Flächen unter der Achse zählen negativ.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Das Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist ein orientierter Flächeninhalt: Flächen über der x-Achse zählen positiv, Flächen darunter negativ, und wer von rechts nach links integriert, dreht jedes Vorzeichen um. Daraus folgen vier Regeln. Intervalladditivität: ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx = ∫ₐᵇ f dx. Vertauschen der Grenzen: ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵇₐ f dx, und ∫ₐᵃ f dx = 0. Faktorregel: ∫ₐᵇ r·f(x) dx = r·∫ₐᵇ f(x) dx. Summenregel: ∫ₐᵇ (f + g) dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫ₐᵇ g dx.
Was die App zeigt
Oben steht der Graph mit den Teilflächen zwischen den Grenzen. Eine Teilfläche mit positivem Beitrag erscheint in der Kursfarbe, eine mit negativem in der Kontrastfarbe. Unten zeigt die Bilanz jede Teilfläche als Balken auf einer Zahlengeraden, nach rechts oder nach links, und einen Pfeil bis zum Wert des Integrals. Vier Modi gehören zu den vier Regeln: Zusammensetzen mit einer Zwischenstelle c, Grenzen tauschen mit nummerierten Streifen und Streifenbreite dx, Faktor mit Regler r und Summe mit drei Karten für f, g und f + g. Zur Wahl stehen x² − 2x, sin x, 0,5x³ − 2x und x + 1.
Selbst ausprobieren
Zieh die Zwischenstelle c über b hinaus: Das zweite Integral läuft dann rückwärts, das überstehende Stück wird wieder abgezogen, und die Summe bleibt gleich. Tausche a und b mit einem Klick: Dieselbe Fläche wechselt die Farbe, dx wird negativ und das Integral wechselt das Vorzeichen. Setze sin x von 0 bis 2π: Das Integral ist 0, die Fläche ohne Vorzeichen aber 4. Im Modus Faktor streckst du f mit r und siehst die Bilanz mitwachsen, im Modus Summe addieren sich die Pfeile von f und g zum Pfeil von f + g.
Häufige Fragen
- Warum ändert sich das Vorzeichen, wenn man die Grenzen vertauscht?
- Weil man dann in die andere Richtung integriert. Zerlegt man die Fläche in Streifen der Breite dx = (b − a)/n, ist dx für b < a negativ, und jeder Beitrag f(x)·dx kehrt sein Vorzeichen um. Deshalb gilt ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx.
- Ist ein Integral dasselbe wie ein Flächeninhalt?
- Nein. Das Integral ist eine Flächenbilanz, bei der Flächen unter der x-Achse negativ zählen. ∫₀^{2π} sin x dx = 0, obwohl zwischen Graph und Achse die Fläche 4 liegt. Für den Flächeninhalt integriert man von Nullstelle zu Nullstelle und addiert die Beträge.
- Muss bei der Intervalladditivität c zwischen a und b liegen?
- Nein, mit orientierten Integralen gilt ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx = ∫ₐᵇ f dx für jede Lage von c, solange f auf dem ganzen Bereich integrierbar ist. Liegt c rechts von b, läuft das zweite Integral rückwärts von c nach b und zieht das überstehende Stück wieder ab.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst eine der vier Regeln und eine von vier Funktionen, ziehst die Grenzen a, b und c im Graphen, tauschst a und b per Knopf, stellst den Faktor r ein oder wählst eine zweite Funktion g. Das Panel „Werte“ zeigt die Regel mit Zahlen, die positiven und negativen Beiträge und die Fläche ohne Vorzeichen.
Fach: Analysis (eindimensional)
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