Mittelwert(satz) der Integralrechnung
Über diese App
Der Mittelwert m=1/(b−a)·∫ₐᵇf als Höhe eines flächengleichen Rechtecks (Über- und Unterschüsse heben sich auf). Der Mittelwertsatz markiert eine Stelle ξ mit f(ξ)=m. Intervallgrenzen ziehbar, mehrere Funktionen.
Worum es geht
Der Mittelwert einer Funktion f auf [a, b] ist m = 1/(b − a) · ∫ₐᵇ f(x) dx, die durchschnittliche Höhe der Kurve. Geometrisch hat das Rechteck mit Breite b − a und Höhe m genau dieselbe Fläche wie das Integral. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung sagt: Ist f auf [a, b] stetig, gibt es mindestens eine Stelle ξ in [a, b] mit f(ξ) = m. Beispiel: Für f(x) = x² auf [0, 3] ist ∫ = 9, also m = 3 und ξ = √3.
Was die App zeigt
Die Fläche unter f zwischen a und b ist eingefärbt, darüber liegt das flächengleiche Rechteck mit der Mittelwert-Linie. Wo die Kurve über m liegt, markiert die App einen Überschuss, wo sie darunter liegt, einen Fehlbetrag; beide gleichen sich aus. Die Stelle ξ, an der die Kurve die Linie schneidet, ist hervorgehoben. Werte für ∫ₐᵇ f dx, b − a, m und ξ stehen im Panel.
Selbst ausprobieren
Fünf Funktionen stehen zur Wahl: Parabel, Gerade, Sinus, eine Welle und die Wurzelfunktion. Verschiebe a und b per Regler oder direkt an den Rändern der Fläche. Bei der Geraden liegt ξ genau in der Intervallmitte, bei der Welle kann es mehrere Stellen ξ geben. Beobachte, wie m sich ändert, wenn du das Intervall in einen steilen Bereich schiebst.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man den Mittelwert einer Funktion?
- Man integriert f über das Intervall und teilt durch dessen Länge: m = 1/(b − a) · ∫ₐᵇ f(x) dx. Das ist das kontinuierliche Gegenstück zum arithmetischen Mittel. Für f(x) = x² auf [0, 3] ergibt sich m = 9 / 3 = 3.
- Was besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung?
- Ist f auf [a, b] stetig, gibt es mindestens ein ξ ∈ [a, b] mit ∫ₐᵇ f(x) dx = f(ξ) · (b − a). Die Funktion nimmt ihren Mittelwert also an mindestens einer Stelle an. Die Stetigkeit ist nötig; bei einer Sprungfunktion kann ξ fehlen.
- Was ist der Unterschied zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung?
- Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung garantiert eine Stelle, an der die Tangentensteigung gleich der Sekantensteigung ist. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung garantiert eine Stelle, an der der Funktionswert gleich dem Mittelwert ist. Wendet man den ersten auf eine Stammfunktion an, erhält man den zweiten.
- Was kann ich in der App verändern?
- Du wählst eine von fünf Funktionen und ziehst die Intervallgrenzen a und b. Integral, Mittelwert m, das flächengleiche Rechteck und die Stelle ξ werden sofort neu berechnet.
Fach: Analysis (eindimensional)
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