Riemannsummen — Definition des Integrals
Über diese App
Das bestimmte Integral als Grenzwert von Riemannsummen: 3D-Säulenlandschaft unter der Kurve, fünf Beispielfunktionen, Stützstellenwahl (Unter-/Ober-/Links-/Mitte-/Rechts-Summe), „Verfeinern"-Animation (Säulen werden immer dünner). Zwei Polstellen-Sonderfälle zeigen: bei 1/√x existiert das Integral trotz Pol, bei 1/x² wächst die Summe über alle Grenzen — der Grenzwert existiert nicht.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist als Grenzwert von Riemannsummen definiert. Man zerlegt [a, b] in n Teilintervalle der Breite Δx, wählt in jedem eine Stützstelle xₖ und addiert die Säulenflächen f(xₖ)·Δx. Läuft diese Summe für immer feinere Zerlegungen gegen denselben Wert, unabhängig von der Wahl der Stützstellen, ist f integrierbar und der Grenzwert ist das Integral. Unter- und Obersumme schließen diesen Wert von unten und oben ein.
Was die App zeigt
Über der Kurve steht eine 3D-Säulenlandschaft. Zur Wahl stehen die Parabel x² auf [0, 2], der Sinusbogen auf [0, π] und √x auf [0, 1] sowie zwei Funktionen mit Polstelle bei 0: 1/√x und 1/x². Die Stützstelle wählst du als Untersumme, links, Mitte, rechts oder Obersumme. Das Werte-Panel zeigt die Riemannsumme Sₙ, das Integral und den Fehler |Sₙ − ∫|. Ein Erklärmodus lässt den KI-Tutor live durch die App führen.
Selbst ausprobieren
Drücke „Verfeinern“: n wächst, die Säulen werden dünner, und bei x² nähert sich Sₙ dem Wert 8/3. Bei 1/√x existiert das uneigentliche Integral (= 2), doch mit linker Stützstelle steht eine Säule direkt auf dem Pol und die Summe wird unendlich; „Mitte“ oder „Rechts“ konvergiert. Bei 1/x² wächst die Summe mit jeder Verfeinerung weiter, ein Grenzwert existiert nicht.
Häufige Fragen
- Was ist eine Riemannsumme?
- Eine Riemannsumme nähert die Fläche unter einer Kurve durch Rechtecke an. Das Intervall [a, b] wird in Teilintervalle zerlegt, in jedem wird f an einer Stützstelle ausgewertet und mit der Breite multipliziert. Die Summe ∑ f(xₖ)·Δx dieser Rechteckflächen ist die Riemannsumme.
- Was ist der Unterschied zwischen Untersumme und Obersumme?
- Bei der Untersumme nimmt man in jedem Teilintervall den kleinsten Funktionswert, bei der Obersumme den größten. Die Untersumme liegt deshalb nie über, die Obersumme nie unter dem Integral. Rücken beide bei Verfeinerung beliebig nahe zusammen, ist die Funktion Riemann-integrierbar.
- Kann man eine Funktion mit Polstelle integrieren?
- Im Sinne von Riemann nicht direkt, weil die Funktion unbeschränkt ist; man bildet dann ein uneigentliches Integral als Grenzwert. Für 1/√x auf [0, 1] existiert es und ist 2, für 1/x² auf [0, 1] wächst es über alle Grenzen. Ob die Fläche endlich ist, hängt davon ab, wie schnell die Funktion am Pol wächst.
- Was kann ich in der Riemannsummen-App ausprobieren?
- Du wählst eine von fünf Funktionen und eine Stützstellenregel, verfeinerst die Zerlegung und vergleichst die Summe mit dem Integral. Die beiden Polstellen-Beispiele zeigen, wann eine Summe trotz Pol konvergiert und wann nicht.
Fach: Analysis (eindimensional)
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