Orientierter Flächeninhalt
Über diese App
Integral ≠ Flächeninhalt: Teilflächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Das Integral (mit Vorzeichen) und der echte Flächeninhalt (Summe der Beträge) stehen nebeneinander — die Nullstelle zerlegt das Intervall.
Worum es geht
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist ein orientierter Flächeninhalt: Teilflächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Der geometrische Flächeninhalt ist dagegen ∫ₐᵇ |f(x)| dx, die Summe der Beträge. An jeder Nullstelle mit Vorzeichenwechsel zerlegt man das Intervall; das Integral ist dann (+) − (−), der Flächeninhalt (+) + (−). Klassisches Beispiel: sin x auf [0, 2π] hat das Integral 0, der Flächeninhalt beträgt aber 4.
Was die App zeigt
Die Teilflächen über und unter der Achse sind unterschiedlich eingefärbt. Ein Umschalter wechselt zwischen „Integral (mit Vorzeichen)“ und „Flächeninhalt (Beträge)“. Auf Wunsch markiert die App die Nullstellen und zerlegt das Intervall dort. Die Werte für das Integral, ∫|f|, die Fläche oberhalb und die Fläche unterhalb stehen im Werte-Panel, „Aufbauen“ lässt die Fläche von links wachsen.
Selbst ausprobieren
Vier Funktionen stehen zur Wahl: sin x, x(x − 1)(x − 3), x³ und x² − 2. Ziehe a und b per Regler oder direkt im Bild. Bei x³ auf einem symmetrischen Intervall heben sich die Teile genau auf, das Integral wird 0. Verschiebe dann eine Grenze und beobachte, wie Integral und Flächeninhalt auseinanderlaufen, sobald das Intervall eine Nullstelle enthält.
Häufige Fragen
- Warum kann ein Integral negativ sein?
- Liegt der Graph unterhalb der x-Achse, sind die Funktionswerte negativ, und die Riemann-Summen f(xᵢ)·Δx werden negativ. Das Integral zählt diese Flächen deshalb mit Minuszeichen. Liegt mehr Fläche unter als über der Achse, ist das Integral insgesamt negativ.
- Wie berechnet man den Flächeninhalt, wenn die Funktion die x-Achse schneidet?
- Man bestimmt die Nullstellen im Intervall, integriert abschnittsweise von Nullstelle zu Nullstelle und addiert die Beträge der Teilintegrale. Das entspricht ∫ₐᵇ |f(x)| dx. Ohne Zerlegung heben sich positive und negative Teile teilweise auf.
- Warum ist das Integral von sin x von 0 bis 2π gleich null?
- Auf [0, π] liegt der Sinus oberhalb der Achse und schließt die Fläche 2 ein, auf [π, 2π] liegt er spiegelbildlich darunter mit der Fläche 2. Im Integral ergibt das 2 − 2 = 0, der Flächeninhalt ist 2 + 2 = 4.
- Was zeigt die App zum orientierten Flächeninhalt?
- Sie stellt für vier Funktionen Integral und Flächeninhalt nebeneinander, färbt Flächen über und unter der Achse verschieden und zerlegt das Intervall auf Wunsch an den Nullstellen. Die Grenzen a und b sind frei verschiebbar.
Fach: Analysis (eindimensional)
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