Grenzwert einer Folge (ε–N₀)
Über diese App
Fliege in 3D entlang der Folge in den ε-Schlauch hinein — drei Beispielfolgen (harmonisch, alternierend ohne Grenzwert, rational mit L = 1/2) zur Auswahl.
Worum es geht
Eine Folge (aₙ) hat den Grenzwert L, wenn es zu jedem ε > 0 einen Index N₀ gibt, sodass |aₙ − L| < ε für alle n ≥ N₀ gilt. In Worten: Wie eng du den Schlauch um L auch ziehst, ab irgendeinem Glied bleiben alle weiteren darin. N₀ hängt von ε ab und wird größer, je kleiner ε ist. Bei aₙ = 1/n reicht zum Beispiel jedes N₀ > 1/ε. Gibt es für ein einziges ε kein solches N₀, hat die Folge keinen Grenzwert.
Was die App zeigt
Die Folgenglieder stehen als Punkte in einer 3D-Szene entlang der Grenzwert-Linie, umgeben vom ε-Schlauch. Fünf Beispiele stehen zur Wahl: 1/n, (−1)ⁿ, (−1)ⁿ/n, (1 + 1/n)ⁿ mit Grenzwert e und die Partialsummen der geometrischen Reihe mit q = ½, die gegen 2 streben. Im Werte-Panel stehen ε, das gefundene N₀ und der Wert a_N₀; ein grüner Ring markiert N₀ in der Szene. Die Formel samt Grenzwert erscheint im eigenen Panel.
Selbst ausprobieren
Schiebe ε nach links und beobachte, wie der Schlauch schrumpft und der Ring N₀ weiter nach hinten wandert. „Flug ε → 0“ spielt diese Bewegung als Animation ab. Wähle dann (−1)ⁿ: Für ε ≤ 1 findet die App kein N₀, weil die Glieder zwischen +1 und −1 springen. Vergleiche 1/n mit (−1)ⁿ/n – beide haben den Grenzwert 0, nähern sich aber unterschiedlich. Bei (1 + 1/n)ⁿ siehst du, wie langsam die Folge an e heranläuft.
Häufige Fragen
- Was bedeutet die ε-N₀-Definition des Grenzwerts?
- Sie präzisiert „aₙ kommt L beliebig nahe“: Zu jeder Toleranz ε > 0 gibt es einen Index N₀, ab dem alle Glieder weniger als ε von L entfernt sind. Es genügt nicht, dass einzelne Glieder nahe an L liegen; ab N₀ müssen es alle sein.
- Warum hat die Folge (−1)ⁿ keinen Grenzwert?
- Die Glieder wechseln ständig zwischen +1 und −1. Für jeden Kandidaten L liegt bei ε = ½ immer mindestens einer der beiden Werte außerhalb des Schlauchs, und das unendlich oft. Deshalb existiert kein N₀, die Folge ist divergent.
- Wie bestimmt man N₀ bei der Folge 1/n?
- Gesucht ist ein Index, ab dem |1/n − 0| < ε gilt, also n > 1/ε. Bei ε = 0,1 liegen alle Glieder ab n = 11 im Schlauch. Halbiert man ε, verdoppelt sich ungefähr das nötige N₀.
- Was kann ich in dieser App einstellen?
- Du wählst eine von fünf Folgen, stellst ε per Regler ein und liest N₀ und a_N₀ ab. Die 3D-Ansicht lässt sich drehen, und die Animation „Flug ε → 0“ verkleinert ε automatisch.
Fach: Analysis (eindimensional)
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