Warum (eˣ)′ = eˣ
Über diese App
Dreischrittiger Beweis-Spaziergang: (1) ln′(x) = 1/x aus dem Differentialquotient (mit e als Grenzwert), (2) Umkehrregel — Spiegelung an y=x, Steigungen werden zu Kehrwerten, (3) (eˣ)′ = 1 / (1/eˣ) = eˣ. Live-Algebra im Beweis-Panel.
Worum es geht
Dass die e-Funktion ihre eigene Ableitung ist, lässt sich beweisen statt nur merken. Ein Weg führt über den natürlichen Logarithmus: Aus dem Differentialquotienten folgt ln′(x) = 1/x, wobei der Grenzwert (1 + 1/n)ⁿ → e die entscheidende Rolle spielt. Weil eˣ die Umkehrfunktion von ln ist, liefert die Umkehrregel (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(f⁻¹(y)) dann (eˣ)′ = 1 / (1/eˣ) = eˣ.
Was die App zeigt
Die App gliedert den Beweis in drei Schritte. Schritt 1 legt eine Sekante an ln(x) durch P = (x₀, ln x₀) und Q = (x₀ + h, ln(x₀ + h)) und formt den Sekantenanstieg m_h algebraisch um, bis der Ausdruck (1 + h/x₀)^(x₀/h) erscheint. Schritt 2 spiegelt einen Punkt P = (a, ln a) an y = x und zeigt, dass die Steigungen zu Kehrwerten werden. Schritt 3 setzt beides zusammen: An der Stelle x₀ sind Höhe und Tangentensteigung von eˣ gleich.
Selbst ausprobieren
Verkleinere in Schritt 1 den Abstand h und verfolge in den Live-Werten, wie (1 + h/x₀)^(x₀/h) gegen e ≈ 2,718 und m_h gegen 1/x₀ läuft; „h → 0“ rastet die Sekante auf die Tangente ein. In Schritt 2 verschiebst du a und vergleichst die Steigung 1/a an der ln-Kurve mit der Steigung a an der Exponentialkurve. In Schritt 3 lohnt der Blick auf die Live-Werte: Die y-Höhe und die Tangentensteigung stimmen für jedes x₀ überein.
Häufige Fragen
- Warum ist die Ableitung von e^x wieder e^x?
- Die Zahl e ist genau so gewählt, dass ln′(x) = 1/x gilt. Da eˣ die Umkehrfunktion von ln ist, ergibt die Umkehrregel (eˣ)′ = 1 / ln′(eˣ) = 1 / (1/eˣ) = eˣ. Anschaulich: Bei eˣ ist die Steigung an jeder Stelle so groß wie der Funktionswert.
- Wie beweist man, dass die Ableitung von ln(x) gleich 1/x ist?
- Man schreibt den Differenzenquotienten (ln(x + h) − ln x)/h um zu (1/x)·ln((1 + h/x)^(x/h)). Für h → 0 strebt n = x/h gegen unendlich und (1 + 1/n)ⁿ gegen e. Damit geht der Quotient gegen (1/x)·ln e = 1/x.
- Was besagt die Umkehrregel für Ableitungen?
- Ist f umkehrbar und differenzierbar mit f′ ≠ 0, dann gilt (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(f⁻¹(y)). Geometrisch entsteht der Graph von f⁻¹ durch Spiegelung an y = x; dabei werden aus Steigungen ihre Kehrwerte.
- Wie ist die App zum Beweis von (e^x)′ = e^x aufgebaut?
- Sie führt in drei anklickbaren Schritten durch den Beweis: ln′(x) = 1/x über den Differentialquotienten, die Umkehrregel als Spiegelung an y = x und die Folgerung für eˣ. Zu jedem Schritt gibt es Regler und ein Beweis-Panel mit Umformungen und Live-Werten.
Fach: Analysis (eindimensional)
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