Uneigentliche Integrale: unendliche Fläche, endlicher Inhalt
Über diese App
Die Grenze z läuft bis eine Million, die Fläche A(z) wird live mitgezeichnet: Unter 1/x² nähert sie sich 1, unter 1/x wächst sie wie ln z über alle Grenzen. Exponent p frei (konvergent genau für p > 1), Vergleich nebeneinander, Pol-Fall ∫₀¹ mit ε → 0 und Rechnung in drei Schritten statt „∞ einsetzen“.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Ein uneigentliches Integral hat eine unendliche Grenze oder eine Polstelle. Man definiert es als Grenzwert: ∫₁^∞ f(x) dx = lim (z → ∞) ∫₁^z f(x) dx. Für f(x) = 1/x² ist ∫₁^z 1/x² dx = 1 − 1/z, und das strebt gegen 1. Für 1/x ist das Integral ln z, und das wächst über alle Grenzen, obwohl auch 1/x gegen 0 geht. Allgemein ist ∫₁^∞ 1/xᵖ dx genau für p > 1 endlich, mit dem Wert 1/(p − 1).
Was die App zeigt
Oben steht f(x) = 1/xᵖ mit der Fläche von 1 bis zur Grenze z und der Restfläche dahinter. Unten zeichnet die App den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von z, auf logarithmischer oder linearer Achse, mit einer Linie beim Grenzwert. Im Vergleichsmodus stehen 1/x² und 1/x nebeneinander. Der Modus „nach oben offen“ behandelt ∫₀¹ mit Pol bei 0 und einer unteren Grenze ε. Das Panel „Rechnung“ zeigt die Stammfunktion, den Wert bei der aktuellen Grenze und den Grenzwert.
Selbst ausprobieren
Starte „z → ∞“ und beobachte, wie A bei 1/x² an der Linie 1 anliegt, während A bei 1/x weiter steigt. Schalte die Achse auf linear: Dort sieht ln z flach aus, auf der logarithmischen Achse wird es zur Geraden. Verändere den Exponenten p und finde die Grenze p = 1. Im Pol-Fall siehst du das Gegenstück: ∫₀¹ 1/√x dx = 2 ist endlich, ∫₀¹ 1/x² dx nicht.
Häufige Fragen
- Was ist ein uneigentliches Integral?
- Ein Integral über ein unbeschränktes Intervall oder über eine Polstelle hinweg. Man berechnet es nicht direkt, sondern als Grenzwert gewöhnlicher Integrale, etwa ∫₁^∞ f(x) dx = lim (z → ∞) ∫₁^z f(x) dx. Existiert dieser Grenzwert, heißt das Integral konvergent, sonst divergent.
- Warum ist ∫₁^∞ 1/x² dx gleich 1?
- Eine Stammfunktion von 1/x² ist −1/x. Damit ist ∫₁^z 1/x² dx = 1 − 1/z. Für z → ∞ geht 1/z gegen 0, also ist der Grenzwert 1. Die Fläche reicht unendlich weit, hat aber den Inhalt 1.
- Warum divergiert ∫₁^∞ 1/x dx, obwohl 1/x gegen 0 geht?
- Es gilt ∫₁^z 1/x dx = ln z, und ln z wächst ohne Schranke, nur sehr langsam: Jede Verzehnfachung von z bringt etwa 2,3 dazu. Dass f gegen 0 geht, reicht nicht; f muss schnell genug gegen 0 gehen, bei 1/xᵖ also mit p > 1.
- Was kann ich in der App ausprobieren?
- Du lässt die Grenze bis eine Million laufen, wählst den Exponenten p, vergleichst 1/x² mit 1/x, schaltest zwischen logarithmischer und linearer Achse um und untersuchst im Modus „nach oben offen“ Integrale mit Polstelle wie ∫₀¹ 1/√x dx.
Fach: Analysis (eindimensional)
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