Kurvendiskussion (8 Schritte)
Über diese App
Vollständige Kurvendiskussion in acht didaktischen Schritten — Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extrema, Wendepunkte, Asymptoten — kumulativ aufdeckend für drei Funktionen (Polynom, gebrochen-rational mit Pol, rational mit parabolischer Asymptote).
Das Schema
Eine Kurvendiskussion untersucht eine Funktion systematisch: (1) Definitionsbereich, (2) Symmetrie, (3) Nullstellen, (4) Monotonie über das Vorzeichen von f′, (5) Krümmung über das Vorzeichen von f″, (6) relative Extremwerte, wo f′ das Vorzeichen wechselt, (7) Wendepunkte, wo f″ das Vorzeichen wechselt, und (8) Asymptoten. Die Reihenfolge geht vom Groben zum Feinen. Aus allen Schritten zusammen ergibt sich der Verlauf des Graphen.
Drei Beispielfunktionen
Die App diskutiert drei Funktionen. Das Polynom x⁴ − x³ − 3x² + 5x − 2 = (x − 1)³(x + 2) hat ein Minimum bei x = −5/4 und bei x = 1 einen Sattelpunkt. Die gebrochenrationale Funktion −(x − 2)²/(x + 2) hat eine Polstelle bei −2, ein Minimum bei (−6, 16), ein Maximum bei (2, 0) und die schiefe Asymptote y = −x + 6. Die dritte, 3x² + 3 − 6/x, hat einen Pol bei 0, einen Wendepunkt bei (∛2, 3) und die Parabel 3x² + 3 als Asymptote.
Selbst ausprobieren
Mit „Weiter“ und „Zurück“ gehst du die acht Schritte nacheinander durch; jeder ergänzt Markierungen im Graphen und eine Rechnung im Ergebnis-Panel. Über „Alle an“ und „Alle aus“ und Klicks auf einzelne Schritte blendest du gezielt Teile ein, etwa nur Extrema und Wendepunkte. Achte bei der zweiten Funktion darauf, dass f″ zwar das Vorzeichen wechselt, aber nur über die Polstelle hinweg; daher gibt es dort keinen Wendepunkt.
Häufige Fragen
- Welche Schritte gehören zu einer Kurvendiskussion?
- Üblich sind Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extrempunkte, Wendepunkte und Asymptoten bzw. Verhalten im Unendlichen. Je nach Lehrplan kommen y-Achsenabschnitt oder Wertetabelle hinzu. Ziel ist eine Skizze des Graphen, die alle markanten Punkte enthält.
- Was ist ein Sattelpunkt?
- Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Dort ist f′ = 0, aber f′ wechselt das Vorzeichen nicht, deshalb liegt kein Extremum vor. Ein Beispiel ist (x − 1)³(x + 2) bei x = 1.
- Wann hat eine gebrochenrationale Funktion eine schiefe Asymptote?
- Wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Die Polynomdivision liefert dann eine lineare Funktion plus einen Rest, der für |x| → ∞ gegen 0 geht. Bei −(x − 2)²/(x + 2) ist die Asymptote y = −x + 6.
- Was zeigt die App zu jeder Funktion?
- Für jede der drei Funktionen die acht Schritte mit Rechnung und Ergebnis, etwa Ableitungen, Vorzeichenbereiche und Koordinaten. Die passenden Markierungen erscheinen im Graphen, und du kannst jeden Schritt einzeln ein- oder ausblenden.
Fach: Analysis (eindimensional)
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