Fourier-Epizykel (3D)
Über diese App
Jede geschlossene Kurve als Summe rotierender Vektoren — Σ cₙ·eⁱⁿᵗ. Die Spitze zeichnet die Kurve nach, der Zeitverlauf als 3D-Helix ausgerollt. Presets (Herz, Stern, Notenschlüssel, …) oder eigene Kurve frei zeichnen.
Epizykel und komplexe Fourierreihe
Eine geschlossene Kurve in der Ebene kann man als komplexwertige periodische Funktion z(t) auffassen und als komplexe Fourierreihe z(t) = Σ cₙ·e^(int) schreiben. Jeder Term ist ein Vektor der Länge |cₙ|, der mit der Frequenz n rotiert. Hängt man diese Vektoren aneinander, zeichnet die Spitze der Kette die Kurve nach; das sind Epizykel, Kreise auf Kreisen. Mit wenigen Termen entsteht eine grobe Form, mit mehr Termen werden Ecken und Details schärfer. Für Raumkurven nimmt man je Koordinate eine Reihe, dann laufen die einzelnen Terme auf Ellipsenbahnen im Raum.
Was die App zeigt
Die App spielt die Fourier-Synthese als Kette rotierender Vektoren in einer 3D-Szene ab. Vorlagen sind Herz, Quadrat, Stern und Kardioide in der Ebene sowie Würfel-Pfad, Kleeblatt-Knoten, Torus-Spirale, Lissajous-Figur, Viviani-Kurve und Achterknoten im Raum. Du kannst auch eine eigene 2D-Kurve zeichnen. Einstellbar sind Zahl der Harmonischen (1 bis 120), Tempo und Linienstärke; einblenden lassen sich Ellipsenbahnen, Vektorenkette, Zielkurve, Boden mit Schatten und eine Kamera, die dem Stift folgt. Die Option „Zeit-Helix ausrollen“ zieht den Zeitverlauf als Spirale in die Tiefe.
Selbst ausprobieren
Wähle den Stern und senke die Harmonischen auf wenige Terme: Die Spitzen runden sich ab, weil die hohen Frequenzen fehlen. Erhöhe dann schrittweise und beobachte, ab wann die Ecken scharf werden. Zeichne eine eigene Kurve und schalte die Zeit-Helix ein, um zu sehen, wie die Bewegung über die Zeit abläuft. Ziehen dreht die Szene, das Mausrad zoomt.
Häufige Fragen
- Was sind Fourier-Epizykel?
- Fourier-Epizykel sind eine Darstellung der komplexen Fourierreihe als Kette rotierender Vektoren. Jeder Vektor hat die Länge |cₙ| und dreht sich mit der Frequenz n. Die Spitze der Kette zeichnet die ursprüngliche Kurve nach.
- Wie kann man jede Zeichnung mit Kreisen nachzeichnen?
- Man fasst die Zeichnung als geschlossene Kurve z(t) in der komplexen Ebene auf und berechnet ihre Fourier-Koeffizienten cₙ. Jeder Koeffizient entspricht einem rotierenden Kreis. Mit genügend vielen Kreisen nähert die Summe jede stetige geschlossene Kurve beliebig genau an.
- Warum braucht man für Ecken viele Harmonische?
- Ecken und scharfe Spitzen enthalten Anteile hoher Frequenzen. Fehlen diese Terme, wird die Form geglättet. Erst mit vielen Harmonischen werden scharfe Details sichtbar.
- Kann ich in der App eine eigene Kurve zeichnen?
- Ja. Mit „Eigene 2D-Kurve zeichnen“ hältst du Maustaste oder Finger gedrückt und zeichnest eine Kurve. Die App zerlegt sie in Fourier-Terme und lässt die Epizykel-Kette sie nachzeichnen.
Fach: Fourier-Analyse
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