Fourierreihe 5 Funktionen
Über diese App
Fünf Standardfunktionen (Rechteck, Dreieck, Halbsinus, Puls 80%, Sägezahn) als Fourierreihe. Slider regelt den Entwicklungsgrad N, Formel und Kurve reagieren live. Spektrum, Gibbs-Überschwingen und Konvergenzgeschwindigkeit pro Funktionsform sichtbar.
Fourierreihe und Gibbs-Phänomen
Eine periodische Funktion lässt sich als Fourierreihe aus Kosinus- und Sinustermen darstellen; die Partialsumme bis zur Ordnung N nähert sie an. Welche Koeffizienten verschwinden, hängt von der Symmetrie ab. Die ungerade Rechteckwelle der Periode 2π mit Werten ±1 ist eine reine Sinusreihe mit bₖ = 4/(π·k) für ungerade k. An Sprungstellen tritt das Gibbs-Phänomen auf: Die Partialsummen schießen um etwa 9 % der Sprunghöhe über. Dieses Überschwingen verschwindet für N → ∞ nicht, es wird nur schmaler. Stetige Funktionen wie Dreieck oder Halbsinus konvergieren ohne Gibbs-Effekt und deutlich schneller.
Was die App zeigt
Fünf Funktionen stehen zur Wahl: Rechteck, Dreieck, Halbsinus, Puls mit 80 % und Sägezahn. Ein Regler stellt den Entwicklungsgrad N von 1 bis 40 ein, Kurve und Formel der Partialsumme reagieren sofort. Optional werden die einzelnen Harmonischen und die Zielfunktion eingeblendet. Das Werte-Panel zeigt Zahl der Terme, Gibbs-Überschwingen, maximalen Fehler |f − fₙ| und die Stelle des Überschwingens. Das Spektrum-Panel stellt die Koeffizienten als Balken dar, beim Rechteck mit der Formel bₖ = 4/(π·k).
Selbst ausprobieren
Wähle das Rechteck und erhöhe N langsam bis 40. Beobachte, wie die Zacken am Sprung schmaler werden, ihre Höhe aber bei etwa 9 % der Sprunghöhe bleibt. Wechsle zum Dreieck: Schon wenige Terme liefern eine fast perfekte Kurve, weil die Koeffizienten wie 1/k² fallen. Vergleiche im Spektrum, wie schnell die Balken bei den verschiedenen Funktionen kleiner werden.
Häufige Fragen
- Wie lautet die Fourierreihe einer Rechteckfunktion?
- Für die ungerade Rechteckwelle mit Werten ±1 und Periode 2π gilt f(x) = (4/π)·[sin x + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + …]. Es treten nur ungerade Vielfache der Grundfrequenz auf, und die Koeffizienten fallen wie 1/k.
- Was ist das Gibbs-Phänomen?
- An einer Sprungstelle schießen die Partialsummen einer Fourierreihe um etwa 9 % der Sprunghöhe über den Funktionswert hinaus. Mit wachsendem N wird der Bereich des Überschwingens schmaler, die Höhe bleibt aber bestehen. Es tritt nur bei unstetigen Funktionen auf.
- Warum konvergiert die Fourierreihe eines Dreiecks schneller als die eines Rechtecks?
- Das Dreieck ist stetig und hat nur Knicke, das Rechteck springt. Je glatter eine Funktion ist, desto schneller fallen ihre Fourier-Koeffizienten: beim Dreieck wie 1/k², beim Rechteck wie 1/k. Entsprechend genügen beim Dreieck weniger Terme für dieselbe Genauigkeit.
- Welche Funktionen kann ich in der App vergleichen?
- Rechteck, Dreieck, Halbsinus, Puls mit 80 % und Sägezahn. Für jede siehst du Partialsumme, Formel, Spektrum und den maximalen Fehler bis N = 40.
Fach: Fourier-Analyse
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