Matrizen rechnen: Produkt, Inverse, Transponierte
Über diese App
Matrizenrechnung Schritt für Schritt animiert: A·B als Zeile mal Spalte, wahlweise im Falk-Schema, mit Tausch A·B ↔ B·A; die Inverse über (A | E) mit Gauß-Jordan und exakten Brüchen; die Transponierte als Spiegelung an der Hauptdiagonale.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Beim Matrizenprodukt entsteht jeder Eintrag aus einer Zeile von A und einer Spalte von B: Man multipliziert die Einträge paarweise und addiert. Deshalb muss A so viele Spalten haben wie B Zeilen, und im Allgemeinen ist A·B ≠ B·A. Die Inverse A⁻¹ einer quadratischen Matrix erfüllt A·A⁻¹ = E; man findet sie, indem man (A | E) mit Zeilenumformungen zu (E | A⁻¹) umformt. Die Transponierte Aᵀ entsteht durch Spiegeln an der Hauptdiagonale: Aus Zeile i wird Spalte i.
Was die App zeigt
Für jeden Eintrag des Produkts leuchten die passende Zeile und Spalte auf, die Produkte werden einzeln gebildet und zur Summe zusammengeführt, die dann an ihren Platz im Ergebnis wandert. Im Falk-Schema steht B oben, A links, und Zeile und Spalte kreuzen sich genau dort, wo der Eintrag hingehört. Bei der Inversen zeigt die App jede Zeilenumformung an (A | E) mit exakten Brüchen, bis links die Einheitsmatrix steht. Beim Transponieren wandern die Einträge über die Diagonale, die Diagonale selbst bleibt stehen.
Selbst ausprobieren
Wähle ein Format oder ein Beispiel, schalte das Falk-Schema ein und aus und gehe Schritt für Schritt vor oder zurück. Ein Klick auf einen Eintrag des Ergebnisses springt zu seiner Rechnung. Tausche A und B und vergleiche die Ergebnisse, oder wähle Formate, die nicht zusammenpassen. Bei der Inversen probierst du eine Matrix, die nicht invertierbar ist, und siehst, wo das Verfahren stoppt. Beim Transponieren vergleichst du eine quadratische Matrix mit einer 2×3-Matrix.
Häufige Fragen
- Wie multipliziert man zwei Matrizen?
- Der Eintrag in Zeile i und Spalte j von A·B ist die Summe der Produkte aus Zeile i von A und Spalte j von B: c_ij = a_i1·b_1j + a_i2·b_2j + … Das Produkt ist nur definiert, wenn A so viele Spalten hat wie B Zeilen. Das Ergebnis hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.
- Was ist das Falk-Schema?
- Eine Anordnung zum Rechnen von Hand: B steht oben rechts, A unten links, und das Ergebnis C entsteht im Feld dazwischen. Jeder Eintrag von C steht genau im Kreuzungspunkt der Zeile von A und der Spalte von B, aus denen er berechnet wird. So verrutscht man beim Rechnen nicht.
- Wie berechnet man die inverse Matrix?
- Man schreibt A und die Einheitsmatrix nebeneinander als (A | E) und formt mit Zeilenumformungen so lange um, bis links E steht; rechts steht dann A⁻¹. Entsteht links eine Nullzeile, ist det A = 0 und A nicht invertierbar. Die Inverse entsteht nicht, indem man jeden Eintrag durch 1 teilt.
- Was zeigt die App „Matrizen rechnen“?
- Sie animiert drei Rechenwege Schritt für Schritt: das Matrizenprodukt mit und ohne Falk-Schema samt Tausch A·B ↔ B·A, die Inverse über (A | E) mit exakten Brüchen und Probe, und die Transponierte als Spiegelung an der Hauptdiagonale.
Fach: Lineare Algebra
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