Telefon-Vektoren: drei Vektoren, eine Ebene
Über diese App
Die Tastenreihen 1-2-3, 4-5-6, 7-8-9 als Vektoren im Raum: Das Spiel der geschlossenen Vektorkette findet a − 2b + c = 0, also sind sie linear abhängig und liegen in einer Ebene. Von der Kante gesehen liegen alle drei Pfeile auf einer Linie. Zum Vergleich ragt c = (7, 8, 10) heraus, die Kette schließt nicht mehr, det ≠ 0.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Drei Vektoren a, b, c im ℝ³ heißen linear abhängig, wenn r·a + s·b + t·c = 0 eine Lösung hat, bei der nicht alle Faktoren null sind. Anschaulich: Man kann sie, verlängert, verkürzt oder umgedreht, Spitze an Spitze zu einer geschlossenen Kette legen. Das gelingt genau dann, wenn die drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene durch den Ursprung liegen. Rechnerisch prüft man das mit einem homogenen linearen Gleichungssystem: Hat es unendlich viele Lösungen, sind die Vektoren abhängig.
Was die App zeigt
Aus den drei Tastenreihen eines Telefons werden die Vektoren a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) und c = (7, 8, 9). Sie wirken zufällig gewählt, liegen aber in einer Ebene: a − 2b + c = 0. Die App zeigt die gemeinsame Ebene, die geschlossene Kette aus a, −2b und c und eine Kantenansicht, in der alle drei Pfeile auf einer Linie erscheinen. Die Werte-Anzeige nennt Determinante, Status und die Faktoren der Kette.
Selbst ausprobieren
Drehe die Szene, bis du genau auf die Kante der Ebene blickst. Ändere dann c auf (7, 8, 10): Der Pfeil ragt aus der Ebene, die Determinante ist nicht mehr null, und die Kette schließt sich nicht mehr. Mit eigenen Zahlen siehst du, wie selten drei zufällige Vektoren in einer Ebene liegen. Im Erklärmodus führt der KI-Tutor durch die App.
Häufige Fragen
- Wann sind drei Vektoren im Raum linear abhängig?
- Genau dann, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene durch den Ursprung liegen. Dann gibt es Zahlen r, s, t, nicht alle null, mit r·a + s·b + t·c = 0. Gleichwertig: Die Determinante der Matrix aus den drei Spalten ist null.
- Sind (1, 2, 3), (4, 5, 6) und (7, 8, 9) linear unabhängig?
- Nein. Es gilt (1, 2, 3) − 2·(4, 5, 6) + (7, 8, 9) = (0, 0, 0). Das Gleichungssystem r·a + s·b + t·c = 0 hat deshalb unendlich viele Lösungen, die Vektoren liegen in einer Ebene. Keine zwei von ihnen sind parallel.
- Wie prüft man lineare Unabhängigkeit mit dem Gauß-Verfahren?
- Man schreibt r₁a₁ + … + rₙaₙ = 0 komponentenweise als homogenes Gleichungssystem und löst es mit dem Gauß-Verfahren. Bleibt nur die Lösung r₁ = … = rₙ = 0, sind die Vektoren unabhängig. Fällt eine Gleichung weg, weil sie ein Vielfaches einer anderen ist, gibt es unendlich viele Lösungen, und die Vektoren sind abhängig.
- Was zeigt die App „Telefon-Vektoren“?
- Sie macht aus den Tastenreihen eines Telefons drei Vektoren im Raum, zeigt die gemeinsame Ebene, die geschlossene Kette a − 2b + c = 0 und eine Kantenansicht. Alle Komponenten lassen sich ändern, Determinante und Status werden live angezeigt.
Fach: Lineare Algebra
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