Matrizen wie Zahlen: Einheitsmatrix, Inverse, A·x = b
Über diese App
Wer spielt bei Matrizen die Rolle der 0 und der 1? Die Nullmatrix für Plus, die Einheitsmatrix für Mal, nicht die Matrix voller Einsen: (2 3; 5 1) mal Einsermatrix ergibt (5 5; 6 6). Gegenmatrix und Inverse als Kehrwert, A·x = b entfaltet sich zu drei Gleichungen, x = A⁻¹·b, Gauß-Jordan an (A | E) und die Telefonmatrix 1 bis 9, die keine Inverse hat (0 = 2).
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Für Matrizen gibt es Addition und Multiplikation, also fragt man wie bei Zahlen nach den neutralen und inversen Elementen. Neutral für die Addition ist die Nullmatrix. Neutral für die Multiplikation quadratischer Matrizen ist nicht die Matrix voller Einsen, sondern die Einheitsmatrix E mit Einsen auf der Hauptdiagonale: A·E = E·A = A. Die Inverse A⁻¹ ist der Kehrwert einer Matrix, A⁻¹·A = E. Mit ihr lässt sich ein lineares Gleichungssystem A·x = b als x = A⁻¹·b lösen, sofern sie existiert.
Was die App zeigt
Fünf Themen laufen Schritt für Schritt ab, mit exakten Brüchen. (2 3; 5 1) mal Einsermatrix ergibt (5 5; 6 6), mal Einheitsmatrix bleibt A stehen. Zur Gegenmatrix und zu A⁻¹ für (4 7; 2 6) wird die Probe Eintrag für Eintrag gerechnet. Die Telefonmatrix 1 bis 9 mal x entfaltet sich in drei Gleichungen. Die Formel x = A⁻¹·b entsteht durch Multiplikation von links. Gauß-Jordan formt (A | E) zu (E | A⁻¹) um; bei der Telefonmatrix entsteht dagegen eine Nullzeile.
Selbst ausprobieren
Wähle ein Thema und gehe mit Weiter und Zurück durch die Schritte oder spiele alles ab. Jeder Schritt hat einen Satz, der erklärt, was gerade passiert. Beim Gauß-Jordan-Verfahren wechselst du zwischen einer invertierbaren Matrix und der Telefonmatrix, einmal mit rechter Seite b und einmal mit E, und siehst, wo das Verfahren scheitert.
Häufige Fragen
- Was ist die Einheitsmatrix?
- Die quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst. Sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation: A·E = E·A = A. Die Matrix, in der alle Einträge 1 sind, ist es nicht; sie summiert die Zeilen auf.
- Wann hat eine Matrix eine Inverse?
- Nur quadratische Matrizen kommen in Frage, und auch von ihnen nicht alle. A ist genau dann invertierbar, wenn det A ≠ 0 ist. Beim Gauß-Jordan-Verfahren an (A | E) zeigt sich das so: Entsteht links eine Nullzeile, gibt es keine Inverse.
- Wie schreibt man ein Gleichungssystem als A·x = b?
- Die Koeffizienten kommen in die Matrix A, die Unbekannten in den Vektor x, die rechten Seiten in den Vektor b. A·x ist eine gewöhnliche Matrizenmultiplikation, und zwei Vektoren sind gleich, wenn alle Komponenten gleich sind. Daraus entstehen wieder die einzelnen Gleichungen.
- Was zeigt die App „Matrizen wie Zahlen“?
- Sie animiert neutrale Elemente (Nullmatrix, Einsermatrix, Einheitsmatrix), Gegenmatrix und Inverse, die Übersetzung A·x = b in drei Gleichungen, die Lösung x = A⁻¹·b und das Gauß-Jordan-Verfahren, auch für eine Matrix ohne Inverse.
Fach: Lineare Algebra
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