Gleichungen als Waagen
Über diese App
Gleichungen als Balkenwaagen: zwei Waagen addieren und mit Gauß eine Unbekannte rauskegeln – bunte Steine gegen Metallgewichte.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Eine Gleichung ist eine Waage
Links liegen Unbekannte, rechts Zahlen, und beide Seiten sind gleich schwer. In der App ist jede Unbekannte ein farbiger Stein mit verborgenem Gewicht, die rechte Seite besteht aus Metallgewichten. Waage 1 trägt x₁ + x₂ + x₃ = 8, Waage 2 trägt 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 28. Legt man alles von beiden linken Schalen auf die linke Schale einer dritten Waage und alles von den rechten auf die rechte, bleibt sie im Gleichgewicht: 3x₁ + 4x₂ + 5x₃ = 36. Darum darf man Gleichungen addieren.
Was die App zeigt
In der Szene Addieren gleiten die Steine in einer Kaskade auf die große Waage, sie kippt, dann folgen die Gewichte, und die Waage pendelt sich ein. Der Fehlversuch „nur links“ lässt die Gewichte liegen: Die Waage kippt deutlich. In der Szene Eliminieren wird Waage 1 zweimal genommen und ihr Inhalt aus Waage 2 herausgenommen. Waage 2 bleibt im Gleichgewicht, beide x₁-Steine sind weg: x₂ + 2x₃ = 12. Unter jeder Waage steht ihre Gleichung, mit <, = oder > je nach Neigung.
Selbst ausprobieren
Schritte vor und zurück, alles abspielen oder einzeln anwählen. Beim Eliminieren wählst du den Faktor 1, 2 oder 3 und siehst, ob eine Unbekannte verschwindet. Mit 3 fällt x₂ weg, und ein fehlendes x₁ landet auf der rechten Seite: −x₁ + x₃ = 4. Das Werte-Panel nennt die Gewichte beider Schalen, die Neigung und die Gleichung der großen Waage im aktuellen Schritt.
Häufige Fragen
- Warum darf man zwei Gleichungen addieren?
- Beide Seiten einer Gleichung sind gleich groß. Addiert man links das Gleiche wie rechts, nämlich die beiden gleich großen Seiten der zweiten Gleichung, bleiben die Seiten gleich groß. Jede Lösung beider Gleichungen erfüllt auch die Summe.
- Was ist der Trick beim Gauß-Verfahren?
- Man zieht ein passendes Vielfaches einer Gleichung von einer anderen ab, so dass eine Unbekannte den Koeffizienten 0 bekommt. Aus 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 28 minus 2 · (x₁ + x₂ + x₃ = 8) wird x₂ + 2x₃ = 12.
- Was passiert, wenn man nur eine Seite verändert?
- Dann ist die Gleichung nicht mehr wahr. Auf der Waage sieht man es sofort: Sie kippt. Jede Umformung muss mit beiden Seiten dasselbe tun.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Szene Addieren oder Eliminieren, die Schritte 0 bis 3, den Faktor 1, 2 oder 3 für das Eliminieren, den Fehlversuch „nur links legen“ und ob unter jeder Waage ihre Gleichung steht.
Fach: Lineare Algebra
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