Pferd und Schiene: das Skalarprodukt als Arbeit
Über diese App
Ein Pferd zieht einen Waggon schräg unter dem Winkel α: Die Kraft zerfällt in einen Anteil entlang der Schiene, der Arbeit leistet, und einen senkrechten, der verpufft. W = |F| · |s| · cos α, bei 90° steht der Waggon still. Daraus entsteht das Skalarprodukt F · s.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Worum es geht
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist a · b = |a| · |b| · cos α, wobei α der Winkel zwischen ihnen ist. Das Ergebnis ist eine Zahl, ein Skalar, daher der Name. Physikalisch beschreibt es die Arbeit: Zieht eine Kraft F schräg zum Weg s, zählt nur ihr Anteil in Wegrichtung, und der ist |F| · cos α. Senkrecht zum Weg wird keine Arbeit verrichtet. Darum ist das Skalarprodukt genau dann null, wenn zwei Vektoren (ungleich null) senkrecht aufeinander stehen.
Was die App zeigt
Auf einer geraden Schiene steht ein Waggon, ein Pferd zieht ihn unter dem Winkel α. Die Kraft F zerfällt in einen Anteil entlang der Schiene und einen senkrechten Anteil, die zusammen wieder F ergeben. Fährt der Waggon den Weg s ab, wächst die Arbeit W = |F_h| · |s|. Mit |F| = 1000 N, |s| = 200 m und α = 60° sind das 100 000 Nm. Die Werte-Anzeige rechnet cos α, beide Anteile und W live.
Selbst ausprobieren
Ziehe das Pferd von α = 0° bis 90°: Der Anteil entlang der Schiene schrumpft wie der Kosinus, bei 90° bleibt der Waggon stehen, obwohl das Pferd mit voller Kraft zieht. Über 90° zieht es rückwärts, die Arbeit wird negativ. Ändere |F| und |s| und prüfe, dass W mit beiden proportional wächst. Im Erklärmodus führt der KI-Tutor durch die App.
Häufige Fragen
- Was ist das Skalarprodukt anschaulich?
- Es misst, wie viel von einem Vektor in die Richtung des anderen zeigt, multipliziert mit dessen Länge: a · b = |a| · |b| · cos α. In der Physik ist das die Arbeit W = F · s einer Kraft entlang eines Weges. Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.
- Warum ist das Skalarprodukt bei senkrechten Vektoren null?
- Weil cos 90° = 0 ist. Eine Kraft senkrecht zum Weg hat keinen Anteil in Wegrichtung und verrichtet keine Arbeit. Umgekehrt gilt: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren ungleich null gleich null, stehen sie senkrecht.
- Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
- Mit cos α = a · b / (|a| · |b|). Das Skalarprodukt berechnet man komponentenweise, z. B. (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Mit |a| = √14 und |b| = √77 folgt cos α ≈ 0,9746 und α ≈ 12,9°.
- Was zeigt die App „Pferd und Schiene“?
- Sie zeigt ein Pferd, das einen Waggon schräg zieht, die Zerlegung der Kraft in einen Anteil entlang der Schiene und einen senkrechten Anteil sowie die Arbeit W = |F| · |s| · cos α. Winkel, Kraft und Weg lassen sich einstellen, die Fahrt lässt sich abspielen.
Fach: Lineare Algebra
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