Kurze ägyptische Brüche
Über diese App
Jeder Bruch a/b als Summe verschiedener Stammbrüche: Die gierige Methode gegen die kürzeste Zerlegung, als Torte und Zoom-Kaskade bis zu Nennern mit 25 Stellen. N(b) für alle b ≤ 200 exakt, dazu Erdős–Straus (4/n). Ergebnis aus openai/math (Familie 025, Lean-formalisiert): Die nötige Termzahl wächst nur wie log log b, und das ist bestmöglich – Erdős-Problem 304.
Worum es geht
Schon im alten Ägypten schrieb man Brüche als Summe verschiedener Stammbrüche 1/n, etwa im Papyrus Rhind. Wie viele Stammbrüche braucht man höchstens für a/b? Das Maximum über alle Zähler heißt N(b). Die gierige Methode nach Fibonacci und Sylvester endet immer, kann aber lang werden und riesige Nenner erzeugen. Erdős zeigte 1950 N(b) ≲ log b / log log b und vermutete die Ordnung log log b; Vose kam 1985 auf √log b. Ein KI-erzeugtes Preprint aus github.com/openai/math (Familie 025) zeigt nach eigener Darstellung, dass N(b) genau wie log log b wächst, bis auf nicht bezifferte Konstanten. Das ist Erdős-Problem Nr. 304. Laut Katalog ist der Hauptsatz in Lean formalisiert, begutachtet ist das Preprint nicht.
Was die App zeigt
Ein Bruch a/b wird als Torte gezeigt: links legt die gierige Methode Stück für Stück den größten passenden Stammbruch hinein, rechts steht eine kürzeste Zerlegung. Eine Lupe zoomt in den jeweils fehlenden Rest, bis zu Nennern mit 25 Stellen. Für alle b ≤ 200 sind die Zerlegungen und N(b) exakt durch vollständige Suche berechnet. Ein Diagramm zeigt die Wachstumsformen log b / log log b, √log b und log log b. Ein eigenes Panel behandelt die offene Erdős-Straus-Frage zu 4/n.
Selbst ausprobieren
Lade das Beispiel 5/121 und vergleiche: Die gierige Methode braucht dort mehr Terme mit riesigen Nennern als die kürzeste Zerlegung. Wähle einen Nenner und lass dir den schwersten Zähler zeigen, also den Bruch, der für dieses b die meisten Terme braucht. Im Wachstums-Panel siehst du, wie langsam diese Zahlen steigen. Der Satz handelt von sehr großen b; die Kurve zeigt nur die Form des Wachstums, und der Beweis baut keine kürzesten Zerlegungen, er zeigt, dass kurze existieren.
Häufige Fragen
- Was ist ein ägyptischer Bruch?
- Ein ägyptischer Bruch ist eine Darstellung eines Bruchs als Summe verschiedener Stammbrüche, also Brüche mit Zähler 1. Ein Beispiel ist 3/4 = 1/2 + 1/4. Jeder positive rationale Bruch lässt sich so schreiben, meist auf viele verschiedene Arten.
- Wie funktioniert die gierige Methode für ägyptische Brüche?
- Die gierige Methode nach Fibonacci und Sylvester wählt in jedem Schritt den größten Stammbruch, der noch in den Rest passt, und zieht ihn ab. Sie endet immer nach endlich vielen Schritten. Oft liefert sie aber mehr Terme und viel größere Nenner als nötig.
- Wie viele Stammbrüche braucht man höchstens für a/b?
- Erdős vermutete 1950, dass N(b) wie log log b wächst. Ein KI-erzeugtes Preprint aus dem Katalog github.com/openai/math (Familie 025) beweist nach eigener Darstellung c₁·log log b ≤ N(b) ≤ c₂·log log b für alle großen b, die Konstanten sind nicht beziffert. Laut Katalog ist der Hauptsatz in Lean formalisiert; begutachtet ist das Preprint noch nicht.
- Was kann ich in dieser App ausprobieren?
- Du wählst Zähler und Nenner oder ein Beispiel und vergleichst die gierige Zerlegung mit der kürzesten, als Torte und mit Lupe. Für Nenner bis 200 siehst du den schwersten Zähler und N(b). Ein Panel zeigt kürzeste Zerlegungen von 4/n zur Erdős-Straus-Vermutung.
Fach: Offene Probleme, gelöst von KI
Mehr aus Offene Probleme, gelöst von KI
- Anderson-Lokalisierung: 2D gegen 3D (3D)
- Barker-Folgen und zirkulante Hadamard-Matrizen
- Barnettes Vermutung: Rundreise über jedes Polyeder (3D)
- Birkhoff-Billard: nur die Ellipse ist lückenlos
- Cardys Formel — Perkolation im Zufallsmosaik
- Die Ebene ist nicht fünffärbbar (Hadwiger–Nelson)
- Doppel-Dimer-Schleifen und CLE₄
- Dreiecksbillard — irrationale Winkel mischen (3D)
Eine VisuApp von heyprof: interaktiv, kostenlos im Browser, ohne Anmeldung. Was ist eine VisuApp? · Alle Apps