Heilbronns Dreiecksproblem
Über diese App
n Punkte im Quadrat, das kleinste Dreieck leuchtet: Wie groß kann es höchstens werden? Gitter (Fläche 0), Zufall, Erdős-Parabel und Zufall + Löschen im Vergleich, ein Optimierer hebt das kleinste Dreieck an, Diagramm n²·Δ und Exponenten-Leiter. Neu: Δ(n) ≥ c·n^(−2+η) mit η ≈ 3·10⁻²³⁶, die Vermutung „fast n⁻²“ ist widerlegt. openai/math Familie 191 (Lean-formalisiert).
Worum es geht
Lege n Punkte in ein Quadrat der Fläche 1. Je drei Punkte bilden ein Dreieck; wie groß kann das kleinste davon höchstens werden? Den bestmöglichen Wert nennt man Δ(n). Hans Heilbronn stellte die Frage um 1950. Die Erdős-Parabel erreicht die Größenordnung n^(−2), Komlós, Pintz und Szemerédi gewannen 1982 einen Faktor log n und widerlegten damit Heilbronns ursprüngliche Vermutung. Offen blieb, ob es höchstens um einen Faktor n^ε besser geht. Ein KI-erzeugtes Preprint aus github.com/openai/math (Familie 191) zeigt nach eigener Darstellung Δ(n) ≥ c·n^(−2+η) mit η ≈ 3·10⁻²³⁶ und widerlegt damit die Vermutung „fast n^(−2)“. Laut Katalog ist eine Teilaussage in Lean formalisiert; begutachtet ist das Preprint nicht.
Was die App zeigt
Im Quadrat leuchtet stets das kleinste Dreieck, seine Fläche wird exakt gemessen. Anordnungen zum Vergleich: Gitter (viele Punkte auf einer Linie, Fläche 0), reiner Zufall, die Erdős-Parabel x ↦ x² mod p und Zufall + Löschen. Ein Optimierer schiebt die Ecken der kleinsten Dreiecke auseinander und findet gute, aber nicht beweisbar beste Lagen. Ein Diagramm zeigt n²·Δ über n neben bekannten Bestwerten aus der Literatur, eine Exponenten-Leiter ordnet untere und obere Schranken ein.
Selbst ausprobieren
Wähle das Gitter und sieh, dass schon drei Punkte auf einer Linie die Anordnung wertlos machen. Ziehe Punkte von Hand und versuche, den Bestwert für dein n zu erreichen, dann starte den Optimierer. Vergleiche Erdős-Parabel und Zufall + Löschen im Diagramm. Den neuen Satz kann keine Simulation zeigen: Bei η ≈ 3·10⁻²³⁶ ist der Effekt für jedes darstellbare n unsichtbar; er erscheint nur als Aussage auf der Exponenten-Leiter.
Häufige Fragen
- Was ist Heilbronns Dreiecksproblem?
- Heilbronns Dreiecksproblem fragt, wie man n Punkte in einem Quadrat der Fläche 1 anordnen muss, damit das kleinste Dreieck aus drei der Punkte möglichst groß ist. Der beste erreichbare Wert heißt Δ(n). Gesucht ist vor allem, wie schnell Δ(n) mit wachsendem n gegen null geht.
- Was ist die Erdős-Parabel beim Heilbronn-Problem?
- Bei der Erdős-Parabel nimmt man zu einer Primzahl p die Punkte (x, x² mod p) für x = 0, …, p−1 und skaliert sie ins Einheitsquadrat. Keine drei dieser Punkte liegen auf einer Geraden, und jedes Dreieck hat mindestens die Fläche 1/(2p²). Das liefert eine Anordnung mit Δ von der Größenordnung n^(−2).
- Ist die Vermutung Δ(n) ≈ n^(−2) beim Heilbronn-Problem widerlegt?
- Ein KI-erzeugtes Preprint aus dem Katalog github.com/openai/math (Familie 191) zeigt nach eigener Darstellung Δ(n) ≥ c·n^(−2+η) mit einer festen, winzigen Potenz η ≈ 3·10⁻²³⁶, was die Form „fast n^(−2)“ widerlegen würde. Laut Katalog ist die Aussage für eine unbeschränkte Folge von n in Lean formalisiert. Das Preprint ist noch nicht begutachtet.
- Was kann ich in dieser App ausprobieren?
- Du wählst die Punktzahl n und eine Anordnung, ziehst Punkte und siehst das kleinste Dreieck leuchten. Ein Optimierer versucht, es zu vergrößern, und ein Diagramm vergleicht n²·Δ mit bekannten Bestwerten. Eine Exponenten-Leiter zeigt, was über Δ(n) bekannt ist.
Fach: Offene Probleme, gelöst von KI
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