Regressions-Diagnostik
Über diese App
Residuenplots, Hebelwerte und Cook-Distanz an den Datensätzen der Vorlesung und am Anscombe-Quartett – ein falscher Messwert kippt die Gerade.
Worum es geht
Regressionsdiagnostik prüft, ob eine Gerade ein brauchbares Modell der Daten ist und ob einzelne Punkte sie bestimmen. Das Bestimmtheitsmaß R² beantwortet beides nicht. Das Residuum eᵢ = yᵢ − ŷᵢ ist der senkrechte Abstand zur Geraden, der Standardfehler s² = Σeᵢ²/(n − 2). Der Hebelwert hᵢ = 1/n + (xᵢ − x̄)²/Σ(xⱼ − x̄)² hängt nur von x ab und ist groß für Punkte am Rand. Die Cook-Distanz Dᵢ kombiniert Residuum und Hebel und misst, wie stark sich alle Vorhersagen ändern, wenn Punkt i weggelassen wird.
Was die App zeigt
Im Streudiagramm liegen Messpunkte und Regressionsgerade, jeder Punkt hat einen Hof proportional zu seiner Cook-Distanz. Darunter steht ein Residuenplot mit wählbarer Glättung. Zur Auswahl stehen Datensätze aus der Vorlesung (Gleichstrommotor, derselbe mit einem Tippfehler, Hypothekenzins und Bauaufträge), die vier Anscombe-Datensätze, ein Trichter mit wachsender Streuung und eine leere Fläche für eigene Punkte. Ein Diagnosepanel nennt R², s und n und prüft Einfluss, Krümmung und Trichterform. Für einen angeklickten Punkt rechnet die App Hebel und Cook-Distanz mit eingesetzten Zahlen vor.
Selbst ausprobieren
Lade den Motor-Datensatz und dann die Variante mit Tippfehler, in der 7 statt 70 PS erfasst ist: Ein einziger Punkt kippt die Gerade, und seine Cook-Distanz schlägt aus. Schalte „Gerade ohne den Punkt“ ein, um den Einfluss direkt zu sehen. Vergleiche Anscombe II und IV: Gleiches R², aber einmal Krümmung im Residuenplot und einmal ein Punkt mit Hebel h = 1. Im Trichter-Datensatz wächst die Streuung mit x. Mit den Werkzeugen ziehst, setzt und löschst du Punkte.
Häufige Fragen
- Was ist die Cook-Distanz?
- Die Cook-Distanz misst den Einfluss eines einzelnen Datenpunkts auf eine Regression. Sie vergleicht die Vorhersagen mit und ohne diesen Punkt und kombiniert dafür Residuum und Hebelwert. Als grobe Orientierung gelten Werte über 0,5 als auffällig und über 1 als stark einflussreich.
- Was ist ein Hebelwert in der Regression?
- Der Hebelwert hᵢ gibt an, wie weit ein Punkt in x-Richtung vom Mittelwert x̄ entfernt liegt, und damit, wie stark er die Gerade an sich ziehen kann. Er hängt nur von den x-Werten ab, nicht von y. Ein Punkt mit hohem Hebel und großem Residuum hat großen Einfluss.
- Warum reicht R² nicht zur Beurteilung einer Regression?
- R² sagt nur, welcher Anteil der Streuung von y durch die Gerade erklärt wird. Es zeigt weder, ob ein linearer Zusammenhang überhaupt passt, noch, ob einzelne Punkte das Ergebnis bestimmen. Das Anscombe-Quartett hat viermal fast dasselbe R² bei völlig verschiedenen Daten; Residuenplot und Einflussmaße decken das auf.
- Welche Datensätze enthält die Regressionsdiagnostik-App?
- Sie enthält einen Gleichstrommotor (Leistung gegen Drehzahl), dieselben Daten mit einem Kommafehler, Hypothekenzins und Bauaufträge, die vier Anscombe-Datensätze, einen simulierten Trichter mit Heteroskedastizität und eine leere Fläche für eigene Punkte.
Fach: Statistik
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