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Stichprobenvarianz: warum n − 1?

Über diese App

Varianz und Standardabweichung als Spiel: Sechs Leute an der Messwand nennen ihre Größe, aus jedem Abweichungspfeil klappt ein Quadrat, alle Quadrate kommen auf einen Haufen, der Haufen wird in n − 1 gleiche Streifen geteilt, ein Streifen ist s², seine Seite s. Dann tausende Stichproben aus 400 Körpergrößen: Das Mittel aller s² landet auf σ², mit ÷ n bleibt es um σ²/n zu tief.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Worum es geht

Die Varianz misst, wie weit Werte im Schnitt vom Mittelwert entfernt sind, und zwar quadriert: Die Abweichungen allein ergeben zusammen immer null, und große Abstände sollen stärker zählen. Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus und hat wieder die Einheit der Daten. Schätzt man die Varianz aus einer Stichprobe, teilt man die Quadratsumme durch n − 1. Grund: Das Stichprobenmittel x̄ liegt immer mitten in den eigenen Daten, um das wahre μ wären die Quadrate größer. Im Mittel fehlt genau ein σ², also gilt E(Σ(xᵢ − x̄)²) = (n − 1)·σ². So wird s² erwartungstreu.

Was die App zeigt

Im Größen-Spiel stehen sechs Personen an einer Messwand: 166, 183, 172, 189, 161 und 179 cm, Mittelwert 175. Aus jedem Abweichungspfeil klappt ein echtes Quadrat auf, die Quadrate stapeln sich flächentreu zu 562 cm², die Säule wird in fünf Streifen geteilt. Ein Streifen ist s² = 112,4 cm², als Quadrat geformt hat er die Seite s = 10,6 cm. Um μ = 172 gemessen wären es 616 cm². In der zweiten Szene werden aus 400 Körpergrößen tausende Stichproben gezogen: Das laufende Mittel der Schätzungen mit n − 1 landet auf σ² = 80,5, mit n bleibt es bei (n − 1)/n · σ².

Was du ausprobierst

Geh das Spiel mit „Weiter“ Schritt für Schritt durch und zieh an einem Kopf: Die Person wird größer oder kleiner, Quadrate und Summe rechnen mit. Schalte zwischen Teilen durch n − 1 und durch n um und blende das wahre μ ein. Zieh in der zweiten Szene eine Stichprobe und sieh, wie die Punkte aus der Menge fliegen, dann hundert oder tausend auf einmal. Stell n auf 2: Die Rechnung mit n trifft nur die Hälfte. Bei n = 30 wird die Lücke klein, verschwindet aber nicht.

Häufige Fragen

Warum teilt man bei der Stichprobenvarianz durch n − 1?
Weil die Abweichungen vom Stichprobenmittel x̄ im Schnitt kleiner sind als die vom wahren Mittel μ. Es gilt Σ(xᵢ − μ)² = Σ(xᵢ − x̄)² + n·(x̄ − μ)², und das letzte Stück ist im Mittel genau σ². Die Quadratsumme um x̄ hat deshalb den Erwartungswert (n − 1)·σ², und erst durch n − 1 geteilt trifft man σ² im Mittel.
Was bedeutet erwartungstreu?
Ein Schätzer ist erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert dem gesuchten Wert entspricht. Wiederholt man die Stichprobe sehr oft, landet der Durchschnitt aller Schätzwerte auf dem wahren Wert. Die Stichprobenvarianz mit n − 1 ist erwartungstreu für σ², mit n liegt sie im Mittel um σ²/n zu tief.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert und hat die quadrierte Einheit, bei Körpergrößen cm². Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus und hat wieder die Einheit der Daten, also cm. Bei glockenförmigen Daten liegen etwa zwei Drittel der Werte innerhalb Mittelwert ± Standardabweichung.
Was kann ich in der App einstellen?
Im Größen-Spiel die Schritte vom Mittelwert bis zur Wurzel, Teilen durch n − 1 oder n, den Vergleich mit dem wahren μ, die Zahl der Personen und jede einzelne Größe per Ziehen am Kopf. In der Stichproben-Szene die Stichprobengröße n von 2 bis 30, das Ziehen einzeln, zu hundert oder zu tausend und die Wolke der Einzelwerte.

Fach: Statistik

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