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Relations, classes, orders, bijections, different infinities and topology: mathematics as the science of structure, hands-on.
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Relationen als Pfeile zwischen Figuren und synchron als Gitter M × M: Reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv leuchten als Lampen und zeigen ihr Muster, fehlende Pfeile blinken gestrichelt. Hüllen wachsen herein, die transitive Welle für Welle nach einer Vorhersage der Klasse; dazu Alltagsvorlagen, Aufgaben und drei Beweise (Schnitt transitiver Relationen, R = R⁻¹, der Fehlschluss symmetrisch + transitiv ⇒ reflexiv).
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Zwölf Figuren fliegen nach einem Kriterium wie „gleiche Form“ in weiche Inseln, die Pfeile wachsen innerhalb der Klassen, und die Matrix M × M sortiert sich zur Blockdiagonale. „Gleiche Form oder Farbe“ zeigt, was ohne Transitivität schiefgeht. Inseln lassen sich von Hand ziehen oder einkreisen; der Beweis-Modus führt Schritt für Schritt durch den Satz Äquivalenzrelation ⇔ Partition bis zum Verschmelzen überlappender Klassen.
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Ordnung ohne Zahlen: Das vollständige Pfeilbild von Anziehen, Teilmengen oder Pfannkuchenbacken faltet sich in drei Stufen zum Hasse-Diagramm – Schleifen und Abkürzungen verschwinden, vorher stimmt die Klasse ab, welche. Minimale und maximale Elemente leuchten, zwei angetippte Dinge zeigen ihre Kette oder dass sie unvergleichbar sind. Im Modus Reihenfolge hängt die Klasse alles auf eine Leine (topologisches Sortieren), Verstöße blinken.
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Funktionen als Pfeilbild ohne Zahlen: Pfeile zwischen Figuren ziehen, Ringe zählen die Treffer, drei Lampen zeigen injektiv, surjektiv, bijektiv. „Umdrehen“ kehrt alle Pfeile um – nur bei einer Bijektion entsteht wieder eine Funktion. Mit Vorhersage-Karte, Rundreise g∘f = id, Verkettung, Gäste und Stühle und Beweis-Modus in beide Richtungen.
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Cantors Schlange frisst sich durch das unendliche Bruchgitter, hängt jedem gekürzten Bruch ein Nummernschild aus ℕ an und überspringt Doppelte wie 2/4; unten landen die Brüche auf einem immer dichteren Zahlenstrahl. Gegenmodus „zeilenweise“ läuft für immer in der ersten Zeile davon, „Ganz ℚ“ nummeriert im Reißverschluss 0, +, −. Bruch antippen: Die Schlange rast hin und zeigt seine Nummer.
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Satz von Cantor zum Anfassen: Jede Figur bekommt eine Teilmenge, die Diagonale leuchtet auf, kippt um und fliegt als neue Zeile D heraus, die in keiner Zeile der Liste steht. „Hänge sie doch an!“ erzeugt sofort eine neue Diagonale, endlich mit Figuren und unendlich für ℕ.
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Ein glänzender Knetkörper verformt sich stetig: Donut zur Tasse, Kugel zum Würfel und Teller, Doppeltorus zur Brille, Dreifachtorus zur Brezel. An jedem Henkel hängt ein Ring; Reißen und Kleben zeigen mit roter Naht, wie die Form die Klasse wechselt. Mit Abstimm-Herausforderungen und Sortierspiel auf Klassen-Inseln.
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Großbuchstaben als dicke Drähte: Homöomorphe Buchstaben biegen sich weich ineinander (A→R, L→I), Enden, Verzweigungen und Löcher bleiben als Marker sichtbar. Vergleiche zeigen, warum O und Q verschieden sind; im Sortierspiel und mit dem eigenen Namen zerfällt das Alphabet in acht Klassen-Inseln.
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Ein Papierstreifen klebt sich mit null bis drei Halbdrehungen zum Band. Eine Ameise malt: Beim Ring bleibt eine Seite frei, beim Möbiusband ist am Ende alles bemalt, und der Rand ist eine einzige Kurve. Die Schere schneidet in der Mitte oder beim Drittel, vorher stimmt die Klasse ab.
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Stilisiertes Königsberg 1736 mit Pregel, Kneiphof und sieben Brücken: Die Spazierfigur über die Brücken ziehen, bis die Sackgasse kommt. Der Euler-Blick (mit Vorhersage zum Abstimmen) lässt den Stadtplan zum Graphen schrumpfen, paart an jedem Ort die Brücken und lässt die Orte mit Rest leuchten. Brücken bauen und abreißen, Beweis-Modus in sechs Schritten, Haus vom Nikolaus und eigene Graphen.
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