Cantors Diagonale: mehr als unendlich
Über diese App
Satz von Cantor zum Anfassen: Jede Figur bekommt eine Teilmenge, die Diagonale leuchtet auf, kippt um und fliegt als neue Zeile D heraus, die in keiner Zeile der Liste steht. „Hänge sie doch an!“ erzeugt sofort eine neue Diagonale, endlich mit Figuren und unendlich für ℕ.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Der Satz von Cantor
Ordnet man jedem Element x einer Menge M eine Teilmenge f(x) zu, entsteht eine Liste von Teilmengen. Cantor baut daraus die Diagonalmenge D = {x ∈ M | x ∉ f(x)}: Ein Element gehört genau dann zu D, wenn es nicht in seiner eigenen Teilmenge liegt. D unterscheidet sich von jeder Teilmenge f(x) an der Stelle x und kommt deshalb in der Liste nicht vor. Keine Abbildung von M auf die Potenzmenge 𝒫(M) ist surjektiv. Für endliche Mengen heißt das 2ⁿ > n, für die natürlichen Zahlen: 𝒫(ℕ) ist überabzählbar.
Was die App zeigt
Die Liste ist eine Tabelle aus Ja/Nein-Kacheln: Zeile x ist die Teilmenge, die x bekommt. Im endlichen Modus sind die Elemente Figuren wie Kreis, Dreieck und Stern, im unendlichen Modus die Zahlen 1, 2, 3, deren Zeilen und Spalten immer schmaler werden. In fünf benannten Schritten leuchtet die Diagonale auf, ihre Kacheln kippen um und fliegen als neue Zeile D heraus. An jeder Zeile markiert ein Ring die Stelle, an der D anders ist. Ein Vorrat zeigt alle 2ⁿ Teilmengen neben den n Zeilen der Liste.
Selbst ausprobieren
Tippe Kacheln an oder wische darüber und sieh, wie sich D sofort ändert. Vor dem Umkippen hält die App mit der Frage an, ob D schon in der Liste steht, damit eine Klasse abstimmen kann. Mit „Hänge sie doch an!“ oder durch Ziehen der Zeile D in die Tabelle wird D eingefügt. Dann entsteht eine neue Diagonale mit einem neuen fehlenden D, ein Spiel, das man nicht gewinnen kann. Unter Üben baust du D selbst, entscheidest, ob eine Figur zu D gehört, und versuchst vergeblich, D in die Liste zu schmuggeln.
Häufige Fragen
- Was besagt der Satz von Cantor?
- Für jede Menge M ist die Potenzmenge 𝒫(M), die Menge aller Teilmengen, echt mächtiger als M. Es gibt keine surjektive Abbildung von M auf 𝒫(M). Der Beweis nutzt die Diagonalmenge D = {x | x ∉ f(x)}, die von jedem Bild f(x) verschieden ist.
- Warum kann man die fehlende Teilmenge nicht einfach anhängen?
- Wer D bekommt, ist ein Element der Liste, und damit hat die neue Liste eine neue Diagonale. Kippt man sie um, entsteht eine neue Teilmenge, die wieder fehlt. Bei unendlichen Listen schiebt man D vorne ein, mit demselben Ergebnis.
- Gibt es verschiedene Unendlichkeiten?
- Ja. Die natürlichen und die rationalen Zahlen sind gleichmächtig, beide sind abzählbar. Die Menge aller Teilmengen von ℕ ist dagegen überabzählbar: Jede Liste ihrer Elemente verfehlt mindestens eine Teilmenge. Diese Unendlichkeit ist größer.
- Was kann ich in der App ausprobieren?
- Listen von Teilmengen bauen, den Beweis Schritt für Schritt abspielen, D anhängen und die neue Diagonale beobachten, zwischen endlichen Figuren und den natürlichen Zahlen wechseln, alle 2ⁿ Teilmengen anzeigen und Übungsaufgaben mit Rückmeldung in der Szene lösen.
Fach: Mathe ohne Zahlen
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