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Ordnungen und Hasse-Diagramme

Über diese App

Ordnung ohne Zahlen: Das vollständige Pfeilbild von Anziehen, Teilmengen oder Pfannkuchenbacken faltet sich in drei Stufen zum Hasse-Diagramm – Schleifen und Abkürzungen verschwinden, vorher stimmt die Klasse ab, welche. Minimale und maximale Elemente leuchten, zwei angetippte Dinge zeigen ihre Kette oder dass sie unvergleichbar sind. Im Modus Reihenfolge hängt die Klasse alles auf eine Leine (topologisches Sortieren), Verstöße blinken.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Halbordnung und Hasse-Diagramm

Eine Halbordnung ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Ein Beispiel ohne Zahlen ist das Anziehen: Die Socken müssen vor die Schuhe, die Hose vor den Gürtel. Zeichnet man alle Pfeile, entsteht ein dichtes Pfeilbild mit Schleifen an jedem Element und vielen Abkürzungen. Das Hasse-Diagramm lässt beides weg, weil Reflexivität und Transitivität es ohnehin liefern. Es zeigt nur die direkten Nachfolger, von unten nach oben und ohne Pfeilspitzen. Zwei Elemente sind vergleichbar, wenn ein Weg nach oben sie verbindet. Sind je zwei vergleichbar, heißt die Ordnung Totalordnung.

Was die App zeigt

Drei Ordnungen stehen zur Wahl: Anziehen, die Teilmengen von Kreis, Dreieck und Quadrat mit der Teilmengenbeziehung und das Pfannkuchenbacken. Das vollständige Pfeilbild faltet sich animiert in drei Stufen zum Hasse-Diagramm: Erst schrumpfen die Schleifen, dann leuchten die Abkürzungen auf und verschwinden, zuletzt gleiten die Elemente auf Ebenen. Vorher fragt eine Karte, welche Pfeile verschwinden werden. Minimale und maximale Elemente leuchten auf Wunsch, und zwei angetippte Elemente zeigen ihre Kette nach oben oder dass sie unvergleichbar sind.

Selbst ausprobieren

Im Modus Reihenfolge ziehst du die Kleidungsstücke oder Kochschritte auf eine Wäscheleine. Ein Element hängt nur, wenn alles darunter schon hängt, sonst blinken die fehlenden Vorgänger. So entsteht eine Totalordnung, die die Halbordnung einhält, also ein topologisch sortierter Ablauf. Bögen unter der Leine zeigen dann alle nach rechts, und die App zählt, wie viele verschiedene Reihenfolgen ihr findet. Im Bereich Üben warten Aufgaben zum Zurufen: minimale Elemente finden, ein unvergleichbares Paar suchen, ein kleinstes Element erkennen. Die App ist für den Beamer gebaut, die Klasse ruft rein.

Häufige Fragen

Was ist ein Hasse-Diagramm?
Ein Hasse-Diagramm zeichnet eine endliche Halbordnung möglichst sparsam. Es zeigt nur die direkten Nachfolger als Linien von unten nach oben. Schleifen und Abkürzungen fehlen, weil sie aus Reflexivität und Transitivität folgen. Ein Element liegt unter einem anderen, wenn ein Weg nach oben von ihm dorthin führt.
Was ist der Unterschied zwischen minimalem und kleinstem Element?
Unter einem minimalen Element liegt nichts. Ein kleinstes Element liegt unter allen anderen. Beim Anziehen sind Unterhose, Socken, T-Shirt und Uhr minimal, aber keines liegt unter allen, also gibt es kein kleinstes Element. Bei den Teilmengen einer Menge ist die leere Menge das kleinste Element.
Was bedeutet topologisch sortieren?
Topologisch sortieren heißt, die Elemente einer Halbordnung in eine Reihe zu bringen, sodass jedes Element nach allen seinen Vorgängern kommt. Das klappt bei endlichen Halbordnungen immer: Man nimmt jeweils ein minimales Element der noch übrigen. Meist gibt es viele erlaubte Reihenfolgen.
Was kann ich in der App ausprobieren?
Das Pfeilbild zum Hasse-Diagramm falten und vorher abstimmen, welche Pfeile verschwinden, minimale und maximale Elemente leuchten lassen, zwei Elemente vergleichen, Kleidung oder Kochschritte in einer erlaubten Reihenfolge auf eine Leine hängen und Aufgaben zum Zurufen lösen.

Fach: Mathe ohne Zahlen

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