Gummiwelt: Die Tasse ist ein Donut
Über diese App
Ein glänzender Knetkörper verformt sich stetig: Donut zur Tasse, Kugel zum Würfel und Teller, Doppeltorus zur Brille, Dreifachtorus zur Brezel. An jedem Henkel hängt ein Ring; Reißen und Kleben zeigen mit roter Naht, wie die Form die Klasse wechselt. Mit Abstimm-Herausforderungen und Sortierspiel auf Klassen-Inseln.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Homöomorph: gleich in der Gummi-Geometrie
In der Topologie gelten zwei Formen als gleich, wenn man die eine stetig in die andere verformen kann: dehnen, stauchen und biegen sind erlaubt, reißen und kleben nicht. Solche Formen heißen homöomorph. Längen, Winkel und Ecken spielen keine Rolle, deshalb sind Kugel, Würfel und Teller gleich. Bei geschlossenen Flächen im Raum zählt nur die Zahl der Henkel, das Geschlecht: Kugel null, Donut eins, Doppeltorus zwei, Brezel drei. „Ist homöomorph zu“ ist eine Äquivalenzrelation, ihre Klassen bilden eine Partition aller Formen.
Was die App zeigt
Ein glänzender Knetkörper verformt sich flüssig zwischen Formen mit gleich vielen Henkeln: Kugel, Würfel und Teller, Donut und Tasse, Doppeltorus und Brille, Dreifachtorus und Brezel. Die Formen sind so gebaut, dass beim erlaubten Kneten kein Loch zugeht und keines dazukommt. An jedem Henkel hängt ein leuchtender Ring, oben zählt ein Ring je Henkel mit. Die Mulde der Tasse bekommt keinen Ring, denn sie ist nur eine Delle. Reißen und Kleben werden mit einer roten Naht gezeigt, danach ändert sich die Zahl der Ringe.
Selbst ausprobieren
Zieh direkt am Körper oder am Regler und knete den Donut zur Tasse. Unter Verboten reißt du einen Henkel durch oder klebst einen neuen an und siehst, wie die Form die Klasse wechselt. Unter Herausforderung stimmt die Klasse vorher ab, ob etwa ein Teller ohne Reißen zum Donut werden kann. Im Sortierspiel ziehst du Becher, Tasse, Strohhalm, Schere, Brille, Schlüssel, Hose, Teller und Brezel auf Inseln mit gleich vielen Henkeln.
Häufige Fragen
- Warum ist eine Tasse topologisch ein Donut?
- Beide haben genau einen Henkel. Man kann den Körper der Tasse stetig in den Henkel hineinschrumpfen lassen, ohne zu reißen oder zu kleben; übrig bleibt ein Ring. Die Mulde der Tasse ist nur eine Delle und kein durchgehendes Loch.
- Was bedeutet homöomorph?
- Zwei Formen sind homöomorph, wenn es eine stetige, umkehrbare Abbildung zwischen ihnen gibt, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist. Anschaulich: Man kann die eine Form aus Gummi in die andere verformen, ohne zu reißen und ohne Stellen zusammenzukleben.
- Wie viele Löcher hat eine Brezel?
- Eine klassische Brezel hat drei Löcher, topologisch ist sie ein Dreifachtorus mit Geschlecht drei. Eine Brille oder eine Schere hat zwei Henkel, ein Strohhalm einen, denn sein Loch geht einmal ganz hindurch.
- Was kann ich in der App ausprobieren?
- Formen stetig ineinander kneten, Henkel-Ringe zählen, verbotenes Reißen und Kleben mit roter Naht ansehen, Herausforderungen mit Abstimmung lösen und Alltagsgegenstände auf Klassen-Inseln sortieren.
Fach: Mathe ohne Zahlen
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