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Cantors Schlange: ℕ und ℚ sind gleich groß

Über diese App

Cantors Schlange frisst sich durch das unendliche Bruchgitter, hängt jedem gekürzten Bruch ein Nummernschild aus ℕ an und überspringt Doppelte wie 2/4; unten landen die Brüche auf einem immer dichteren Zahlenstrahl. Gegenmodus „zeilenweise“ läuft für immer in der ersten Zeile davon, „Ganz ℚ“ nummeriert im Reißverschluss 0, +, −. Bruch antippen: Die Schlange rast hin und zeigt seine Nummer.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Warum ℚ abzählbar ist

Alle positiven Brüche lassen sich in ein unendliches Gitter schreiben: In Spalte p und Zeile q steht p/q. Cantors Abzählung läuft nicht zeilenweise, sondern im Zickzack durch die Diagonalen, auf denen p + q gleich ist. Jede Diagonale ist endlich, darum wird jeder Bruch nach endlich vielen Schritten erreicht. Nicht gekürzte Brüche wie 2/4 = 1/2 werden übersprungen. So bekommt jede natürliche Zahl genau einen Bruch und jeder Bruch genau eine Nummer: eine Bijektion von ℕ auf die positiven rationalen Zahlen. Mit der 0 und den negativen Brüchen im Wechsel gilt das für ganz ℚ.

Was die App zeigt

Oben liegt das Bruchgitter, durch das sich Cantors Schlange frisst. Jeder neue Bruch bekommt ein Nummernschild aus ℕ, Doppelte werden grau und zeigen auf ihren gekürzten Zwilling. Unten wächst die Liste Nummer ↦ Bruch, und jeder Bruch fliegt als Punkt auf den Zahlenstrahl, der zwischen 0 und 1 immer dichter wird. Der Gegenmodus zählt zeilenweise und läuft für immer in der ersten Zeile davon, sodass 1/2 nie drankommt. Ein dritter Modus nummeriert ganz ℚ wie einen Reißverschluss: 0, plus, minus.

Selbst ausprobieren

Tippe auf einen beliebigen Bruch: Die Schlange rast hin, und eine Lupe zeigt seine Nummer, bei 4/6 den Zwilling 2/3. Lass die Schlange schnell laufen und beobachte, wie der Zahlenstrahl dicht wird, während jede Nummer genau einmal vergeben wird. Vorhersage-Karten halten an spannenden Stellen an, etwa vor dem ersten Doppelten oder beim zeilenweisen Abzählen, damit eine Klasse vorher abstimmen kann. Im Bereich Üben stehen Fragen zum Zurufen, die in der Szene aufgelöst werden.

Häufige Fragen

Warum sind die rationalen Zahlen abzählbar?
Weil man sie lückenlos durchnummerieren kann. Cantor schreibt alle Brüche p/q in ein Gitter und läuft im Zickzack durch die endlichen Diagonalen. Jeder Bruch kommt nach endlich vielen Schritten dran, Doppelte wie 2/4 werden übersprungen. Das ergibt eine Bijektion zwischen ℕ und ℚ.
Gibt es nicht mehr Brüche als natürliche Zahlen, weil ℚ dicht ist?
Nein. Zwischen zwei Brüchen liegt zwar immer ein weiterer, aber für die Größe einer Menge zählt nur, ob es eine Eins-zu-eins-Zuordnung gibt. Cantors Abzählung liefert sie, also sind ℕ und ℚ gleichmächtig. Mehr als abzählbar viele Elemente haben erst die reellen Zahlen.
Warum kann man Brüche nicht zeilenweise abzählen?
Die erste Zeile 1/1, 2/1, 3/1 und so weiter ist unendlich lang. Wer sie zuerst ganz abzählen will, kommt nie in die zweite Zeile, und Brüche wie 1/2 bekämen nie eine Nummer. Die Diagonalen dagegen sind alle endlich.
Was kann ich in der App ausprobieren?
Die Schlange Schritt für Schritt oder schnell laufen lassen, auf Brüche tippen und ihre Nummer sehen, Doppelte erkennen, zeilenweise scheitern, ganz ℚ mit 0 und negativen Brüchen nummerieren und Fragen für eine Klasse vorhersagen und auflösen.

Fach: Mathe ohne Zahlen

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