Königsberger Brücken
Über diese App
Stilisiertes Königsberg 1736 mit Pregel, Kneiphof und sieben Brücken: Die Spazierfigur über die Brücken ziehen, bis die Sackgasse kommt. Der Euler-Blick (mit Vorhersage zum Abstimmen) lässt den Stadtplan zum Graphen schrumpfen, paart an jedem Ort die Brücken und lässt die Orte mit Rest leuchten. Brücken bauen und abreißen, Beweis-Modus in sechs Schritten, Haus vom Nikolaus und eigene Graphen.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Das Brückenproblem und Eulers Satz
Im Königsberg des Jahres 1736 verbanden sieben Brücken vier Stadtteile am Pregel: Altstadt, Vorstadt, die Insel Kneiphof und die Lomse. Gibt es einen Spaziergang, der jede Brücke genau einmal benutzt? Leonhard Euler bewies, dass es ihn nicht gibt. Er machte aus dem Stadtplan einen Graphen: Orte werden Punkte, Brücken werden Kanten. Ein Weg über jede Kante genau einmal existiert genau dann, wenn die Kanten zusammenhängen und höchstens zwei Punkte eine ungerade Zahl von Kanten haben. Für einen Rundweg darf es keinen solchen Punkt geben. In Königsberg haben alle vier Orte ungerade viele Brücken.
Was die App zeigt
Ein stilisierter Stadtplan zeigt den Pregel, den Kneiphof mit dem Dom, die Lomse und die sieben Brücken in ihrer historischen Lage. Eine Spazierfigur läuft über die Brücken, gelaufene Brücken färben sich, und eine Sackgasse wird sichtbar. Der Euler-Blick lässt die Landmassen zu Punkten schrumpfen und die Brücken zu Kanten werden. An jedem Ort verbinden Bögen die Brücken zu Paaren aus „hinein“ und „hinaus“; bleibt eine übrig, leuchtet der Ort. Ein Beweis-Modus führt in sechs Schritten durch Eulers Argument.
Selbst ausprobieren
Zieh die Figur über die Brücken und versuche, jede genau einmal zu benutzen. Vor dem Euler-Blick fragt eine Vorhersage-Karte, ob es geht, damit eine Klasse abstimmen kann. Im Modus Bauen setzt du eine achte Brücke aufs Wasser oder reißt eine ab und siehst sofort, welche Orte noch einen Rest haben. Weitere Vorlagen sind Kaliningrad heute, das Haus vom Nikolaus und ein eigener Graph. Unter Üben warten Herausforderungen, etwa ein Rundweg mit möglichst wenigen neuen Brücken.
Häufige Fragen
- Was ist das Königsberger Brückenproblem?
- Die Frage, ob man in Königsberg einen Spaziergang machen kann, der jede der sieben Brücken über den Pregel genau einmal überquert. Leonhard Euler bewies 1736, dass das unmöglich ist. Seine Lösung gilt als Beginn der Graphentheorie und der Topologie.
- Wann gibt es einen Euler-Weg?
- Ein Euler-Weg benutzt jede Kante eines Graphen genau einmal. Er existiert genau dann, wenn die Kanten zusammenhängen und höchstens zwei Knoten einen ungeraden Grad haben, also ungerade viele Kanten. Dann beginnt der Weg an einem dieser Knoten und endet am anderen. Haben alle Knoten geraden Grad, gibt es sogar einen Rundweg.
- Warum braucht ein Euler-Weg gerade Grade?
- Wer einen Ort unterwegs durchquert, kommt über eine Kante hinein und geht über eine andere hinaus. Jeder Durchgang verbraucht also zwei Kanten, die Kanten eines Ortes lassen sich paaren. Eine Kante ohne Partner kann nur am Start oder am Ziel liegen, deshalb dürfen höchstens zwei Orte ungerade viele Kanten haben.
- Was kann ich in der App ausprobieren?
- Die Spazierfigur über die Brücken ziehen, den Stadtplan zum Graphen schrumpfen lassen, Brücken bauen und abreißen, Eulers Beweis Schritt für Schritt ansehen, das Haus vom Nikolaus in einem Zug zeichnen und Herausforderungen lösen, etwa eine achte Brücke so setzen, dass der Spaziergang möglich wird.
Fach: Mathe ohne Zahlen
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